Considere o campo vetorial de mathbb{R}^{3} definido por vec{F}(x, y, z)=(x, y, z) e seja R o sólido do espaço limitado pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e pelo plano z=c, onde c é uma constante positiva.
(a) Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de vec{F} através de R.
(b) Calcule o valor de c sabendo que
\iint_{S}\langle\vec{F}, \vec{n}\rangle d S+\iint_{P}\langle\vec{F}, \vec{n}\rangle d S=2 \pi,
onde S é a superfície de R, P é a superfície parabólica z=x^{2}+y^{2}, 0 \leq z \leq c, e vec{n} é o campo normal unitário apontando para fora de R.
\text { Resp.: (a) } \frac{3 \pi}{2} c^{2} . \text { (b) } 1 .

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec F(x,y,z)=(x,y,z) em \mathbb R^3 e o sólido R limitado abaixo pelo paraboloide z=x^2+y^2 e acima pelo plano z=c, com c>0.
Pede-se (a) o fluxo de \vec F através de \partial R (usando o Teorema da Divergência) e (b) determinar c tal que o fluxo total seja 2\pi.

Passo 2

Calculamos primeiro a divergência de \vec F:
\div \vec F = \frac{\partial}{\partial x}x + \frac{\partial}{\partial y}y + \frac{\partial}{\partial z}z = 1 + 1 + 1 = 3.
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total de \vec F através da fronteira de R é
\iint_{\partial R} \vec F\cdot\vec n\,dS \;=\;\iiint_{R} \div\vec F\,dV \;=\;3\;\Vol(R).

Passo 3

Para achar \Vol(R), usamos coordenadas cilíndricas:
R=\{(r,\theta,z)\mid 0\le r\le\sqrt{c},\;0\le\theta\le2\pi,\;r^2\le z\le c\}.
Logo
\Vol(R) =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt{c}}\!\int_{r^2}^{c}r\,dz\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{\sqrt{c}}(c-r^2)\,r\,dr =2\pi\Bigl[\tfrac{c\,r^2}{2}-\tfrac{r^4}{4}\Bigr]_{0}^{\sqrt{c}} =2\pi\Bigl(\tfrac{c^2}{2}-\tfrac{c^2}{4}\Bigr) =\tfrac{\pi c^2}{2}.
Portanto o fluxo total é
\iint_{\partial R}\vec F\cdot\vec n\,dS =3\cdot\tfrac{\pi c^2}{2} =\tfrac{3\pi}{2}\,c^2.

Passo 4

Para a parte (b), o enunciado diz que o fluxo total (isto é, a soma das integrais sobre o plano z=c e sobre o paraboloide z=x^2+y^2) vale 2\pi. Logo
\tfrac{3\pi}{2}\,c^2 = 2\pi \quad\Longrightarrow\quad c^2 = \frac{2\pi}{\tfrac{3\pi}{2}} = \frac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad c = \frac{2}{\sqrt{3}}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,c^2.
(b) \displaystyle c=\frac{2}{\sqrt{3}}.

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