Considere o campo vetorial de
definido por
e seja
o sólido do espaço limitado pelo paraboloide
e pelo plano
, onde
é uma constante positiva.
(a) Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de
através de
.
(b) Calcule o valor de
sabendo que
onde S é a superfície de
é a superfície parabólica
, e
é o campo normal unitário apontando para fora de
.
(a) Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de
(b) Calcule o valor de
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
em
e o sólido
limitado abaixo pelo paraboloide
e acima pelo plano
, com
.
Pede-se (a) o fluxo de através de
(usando o Teorema da Divergência) e (b) determinar
tal que o fluxo total seja
.
Pede-se (a) o fluxo de
Passo 2
Calculamos primeiro a divergência de
:
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total de
através da fronteira de
é
Passo 3
Para achar
, usamos coordenadas cilíndricas:
Logo
Portanto o fluxo total é
Passo 4
Para a parte (b), o enunciado diz que o fluxo total (isto é, a soma das integrais sobre o plano
e sobre o paraboloide
) vale
. Logo
Resposta
(a)
(b)
(b)