Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
\int\left(e^{a x}+e^{-a x}\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \bigl(e^{a x} + e^{-a x}\bigr)^{2} \, dx
usando o método da substituição. O conteúdo aqui é integração de funções exponenciais e iremos usar a substituição para transformar exponenciais em potências de uma única variável.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = e^{a x},
logo
dt = a\,e^{a x}\,dx = a\,t\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{dt}{a\,t}.
Além disso, note que e^{-a x} = \tfrac1{e^{a x}} = t^{-1}. Então no integrando:
\bigl(e^{a x}+e^{-a x}\bigr)^{2} = \bigl(t + t^{-1}\bigr)^{2} = t^{2} + 2 + t^{-2}.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int (e^{a x}+e^{-a x})^{2}\,dx obtemos
\int \bigl(t^{2}+2+t^{-2}\bigr)\,\frac{dt}{a\,t} = \frac{1}{a}\int \bigl(t + 2t^{-1} + t^{-3}\bigr)\,dt.
Agora integramos termo a termo:
\int t\,dt = \frac{t^{2}}{2}, \quad \int 2\,t^{-1}\,dt = 2\ln|t|, \quad \int t^{-3}\,dt = -\frac{t^{-2}}{2}.
Portanto
\frac{1}{a}\int \bigl(t + 2t^{-1} + t^{-3}\bigr)\,dt = \frac{1}{a}\Bigl(\frac{t^{2}}{2} + 2\ln|t| - \frac{t^{-2}}{2}\Bigr) + C.

Passo 4

Voltando à variável x, temos t = e^{a x} e \ln|t| = a x. Logo
\frac{1}{a}\Bigl(\frac{t^{2}}{2} - \frac{t^{-2}}{2}\Bigr) = \frac{1}{2a}\bigl(e^{2a x} - e^{-2a x}\bigr),
e
\frac{1}{a}\,2\ln|t| = \frac{2}{a}(a x) = 2x.
Assim a primitiva fica
\frac{1}{2a}\bigl(e^{2a x} - e^{-2a x}\bigr) + 2x + C.

Resposta

\int \bigl(e^{a x} + e^{-a x}\bigr)^{2} dx = \frac{1}{2a}\bigl(e^{2a x} - e^{-2a x}\bigr) + 2x + C.

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