Questão 5(2,0) : Calcule \iint_{S} \vec{f} \cdot \vec{n} d s onde \vec{f}(x, y, z)=\left(x y^{2}, x^{2} y, y\right) onde S é a superfície do sólido pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1 e pelo plano \mathrm{z}=1.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral de fluxo
\iint_{S}\vec{f}\cdot\vec{n}\,ds
onde a campo vetorial é
\vec{f}(x,y,z)=\left(xy^{2},\,x^{2}y,\,y\right),
e S é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro \;x^{2}+y^{2}=1\; e pelo plano \;z=1\;.
Informações dadas e elementos relevantes:
\vec{f}(x,y,z)=\left(xy^{2},\,x^{2}y,\,y\right).
A superfície S é a superfície fechada que limita o sólido descrito por
\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le 1,\;0\le z\le 1\},
isto é, o cilindro de raio 1 com base no plano z=0 e topo no plano z=1 (essa é a forma usual de interpretar “sólido pelo cilindro \;x^{2}+y^{2}=1\; e pelo plano \;z=1\;” — um cilindro de altura 1). O objetivo é o fluxo total de \vec{f} através da superfície fechada S, com a normal apontando para fora do sólido.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática do conceito usado): vamos usar o Teorema da Divergência (também chamado Teorema de Gauss). O Teorema da Divergência diz, em palavras simples: o fluxo total de um campo vetorial \vec{F} através da superfície fechada S que envolve um volume V é igual à integral tripla do divergente de \vec{F} sobre o volume V. Em símbolos:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV.
Aqui \operatorname{div}\vec{F} é o divergente de \vec{F}, que se calcula como a soma das derivadas parciais das componentes correspondentes:
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z},
onde \vec{F}=(F_1,F_2,F_3).
Justificativa prática: usar o Teorema da Divergência costuma ser muito mais simples quando a região é um cilindro e o divergente é uma função fácil de integrar — evita ter que calcular separadamente fluxos pela lateral e pelas bases.

Passo 3

Calcular o divergente de \vec{f} (aula passo a passo sobre cálculo do divergente).
Temos \vec{f}=(F_1,F_2,F_3) com
F_1(x,y,z)=xy^{2},\qquad F_2(x,y,z)=x^{2}y,\qquad F_3(x,y,z)=y.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(xy^{2})=y^{2},
\frac{\partial F_2}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2},
\frac{\partial F_3}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(y)=0.
Somando-as obtemos o divergente:
\operatorname{div}\vec{f}=y^{2}+x^{2}+0=x^{2}+y^{2}.

Passo 4

Aplicar o Teorema da Divergência e preparar a integral tripla.
Pelo Teorema da Divergência:
\iint_{S}\vec{f}\cdot\vec{n}\,ds=\iiint_{V}(x^{2}+y^{2})\,dV,
onde V é o cilindro de raio 1 e altura 1:
V=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le1,\;0\le z\le1\}.
Para integrar sobre um cilindro é muito conveniente usar coordenadas cilíndricas:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,
com r\ge 0, \theta\in[0,2\pi), z no intervalo adequado. Em coordenadas cilíndricas a área volumétrica elementar é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Além disso, x^{2}+y^{2}=r^{2}. Assim a integral fica
\iiint_{V}(x^{2}+y^{2})\,dV=\int_{z=0}^{1}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1} r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta\,dz.
Observação: o fator r vem do Jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo (mostrar todas as contas).
A integral em r é
\int_{r=0}^{1} r^{3}\,dr=\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}.
A integral em \theta é
\int_{\theta=0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
A integral em z é
\int_{z=0}^{1} dz = 1.
Multiplicando os resultados (produto das integrais separáveis):
\iiint_{V}(x^{2}+y^{2})\,dV = \left(\frac{1}{4}\right)\cdot(2\pi)\cdot 1 = \frac{\pi}{2}.

Passo 6

Interpretação final e confirmação: pelo Teorema da Divergência, o fluxo total de \vec{f} através da superfície fechada S do cilindro de raio 1 e altura 1 (entre z=0 e z=1) é \displaystyle \frac{\pi}{2}. Isso inclui o fluxo pela lateral e pelas bases automaticamente.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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