Questão
: Calcule
onde
onde
é a superfície do sólido pelo cilindro
e pelo plano
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral de fluxo
onde a campo vetorial é
e
é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro
e pelo plano
.
Informações dadas e elementos relevantes:
A superfície
é a superfície fechada que limita o sólido descrito por
isto é, o cilindro de raio
com base no plano
e topo no plano
(essa é a forma usual de interpretar “sólido pelo cilindro
e pelo plano
” — um cilindro de altura
). O objetivo é o fluxo total de
através da superfície fechada
, com a normal apontando para fora do sólido.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática do conceito usado): vamos usar o Teorema da Divergência (também chamado Teorema de Gauss). O Teorema da Divergência diz, em palavras simples: o fluxo total de um campo vetorial
através da superfície fechada
que envolve um volume
é igual à integral tripla do divergente de
sobre o volume
. Em símbolos:
Aqui
é o divergente de
, que se calcula como a soma das derivadas parciais das componentes correspondentes:
onde
.
Justificativa prática: usar o Teorema da Divergência costuma ser muito mais simples quando a região é um cilindro e o divergente é uma função fácil de integrar — evita ter que calcular separadamente fluxos pela lateral e pelas bases.
Passo 3
Calcular o divergente de
(aula passo a passo sobre cálculo do divergente).
Temos
com
Calculamos as derivadas parciais:
Somando-as obtemos o divergente:
Passo 4
Aplicar o Teorema da Divergência e preparar a integral tripla.
Pelo Teorema da Divergência:
onde
é o cilindro de raio
e altura
:
Para integrar sobre um cilindro é muito conveniente usar coordenadas cilíndricas:
com
,
,
no intervalo adequado. Em coordenadas cilíndricas a área volumétrica elementar é
Além disso,
. Assim a integral fica
Observação: o fator
vem do Jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Calcular a integral passo a passo (mostrar todas as contas).
A integral em
é
A integral em
é
A integral em
é
Multiplicando os resultados (produto das integrais separáveis):
Passo 6
Interpretação final e confirmação: pelo Teorema da Divergência, o fluxo total de
através da superfície fechada
do cilindro de raio
e altura
(entre
e
) é
. Isso inclui o fluxo pela lateral e pelas bases automaticamente.