Previsão de Demanda de Produção Usando Séries de Taylor. Em um sistema de produção, a demanda de um determinado produto ao longo do tempo pode ser modelada por uma função contínua D(t), onde t representa o tempo em dias. Para pequenas variações de tempo, é desejável prever como a demanda D(t) se comporta em torno de um ponto específico t0.
Suponha que a demanda de produção seja modelada pela função não linear:
D(t)=e^0.05 t+sin (t)
A empresa deseja prever a demanda para os próximos dias, começando a partir do tempo t0=10 dias, utilizando uma aproximação com séries de Taylor em torno de t0.
Qual é o erro aproximado ao prever a demanda no dia t=11 utilizando a série de Taylor até a terceira ordem?

Passo 1

O enunciado pede a previsão da demanda
D(t) = e^0,05 t + sin(t)
em torno de t0=10 usando a série de Taylor até a terceira ordem, e quer o erro aproximado em t=11. O conteúdo é a fórmula do resto de Lagrange em séries de Taylor:
Rn+1(h) = D^(n+1)(xi)(n+1)!,h^,n+1,
onde h = t - t0 e xi fica entre t0 e t.

Passo 2

Aqui usamos n=3 (até a terceira ordem), logo o termo de erro é
R4(h) = D^(4)(xi)4!,h^4,
com h = 11 - 10 = 1.

Passo 3

Calculamos as derivadas até a quarta:
D(t) = e^0,05t + sin t,
D'(t) = 0,05,e^0,05t + cos t,
D''(t) = (0,05)^2e^0,05t - sin t,
D'''(t) = (0,05)^3e^0,05t - cos t,
D^(4)(t) = (0,05)^4e^0,05t + sin t

Passo 4

Para estimar o erro usamos um M tal que lvert D^(4)(t)rvert <= M em tin[10,11].
Note que
(0,05)^4e^0,05t<= (0,05)^4e^0,55approx 0,00000625cdot1,733approx0,0000108
e lvertsin trvert<=1, logo
lvert D^(4)(t)rvert<=1 + 0,0000108approx1,00001
Então
lvert R4(1)rvert <= 1,000014!,1^4 = 1,0000124approx0,04167

Passo 5

Se quisermos uma avaliação mais realista, podemos usar xi=t0=10:
D^(4)(10) = 0,00000625,e^0,5 + sin(10) approx0,0000103 - 0,5440 = -0,54399,
e
R4(1)approx-0,5439924approx -0,02267
O valor absoluto desse erro é cerca de 0,0227.

Resposta

O erro em valor absoluto fica da ordem de
0,0417
(pelo majorante) ou cerca de
0,0227
usando xi=10.

Exercícios relacionados