Determine os valores inicial e final de x(t), F(s) e G(s):
G(s)=4 s+1(s^2+2 s)

Passo 1

Beleza, temos um exercício onde precisamos encontrar os valores inicial e final de x(t) , F(s) e G(s) . A matéria envolvida aqui é de Transformadas de Laplace, especialmente os teoremas que nos ajudam a determinar esses valores. Vamos precisar usar o Teorema do Valor Inicial e o Teorema do Valor Final para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar G(s) , que já está dado como:
G(s) = 4s + 1s^2 + 2s
Aqui, G(s) provavelmente representa a função de transferência de um sistema.

Passo 3

Para encontrar o valor inicial de x(t) , usamos o Teorema do Valor Inicial, que nos diz que:
x(0^+) = lims to infty s cdot X(s)
Onde X(s) = G(s) cdot F(s) . Mas como não temos F(s) ainda, vamos precisar encontrá-lo primeiro.

Passo 4

Considerando que F(s) é a entrada do sistema, vamos supor uma entrada padrão, como um degrau unitário, cujo F(s) = 1s . Assim, podemos encontrar X(s) :
X(s) = G(s) cdot F(s) = 4s + 1s^2 + 2s cdot 1s = 4s + 1s(s^2 + 2s)

Passo 5

Agora, simplificamos X(s) :
X(s) = 4s + 1s^3 + 2s^2
Para encontrar x(t) , precisaríamos fazer uma decomposição de frações parciais, mas vamos focar nos valores inicial e final.

Passo 6

Vamos aplicar o Teorema do Valor Inicial para x(t) :
x(0^+) = lims to infty s cdot X(s) = lims to infty s cdot 4s + 1s^3 + 2s^2 = lims to infty 4s^2 + ss^3 + 2s^2
Dividindo numerador e denominador por s^3 :
x(0^+) = lims to infty 4/s + 1/s^21 + 2/s = 0

Passo 7

Para encontrar o valor final de x(t) , usamos o Teorema do Valor Final:
x(infty) = lims to 0 s cdot X(s) = lims to 0 s cdot 4s + 1s^3 + 2s^2 = lims to 0 4s^2 + ss^3 + 2s^2
Simplificando:
x(infty) = lims to 0 s(4s + 1)s^2(s + 2) = lims to 0 4s + 1s(s + 2) = infty
Isso indica que o sistema não atinge um valor final finito.

Passo 8

Quanto aos valores iniciais e finais de F(s) , considerando F(s) = 1s :
F(0^+) = lims to infty s cdot 1s = 1
F(infty) = lims to 0 s cdot 1s = 1

Resposta

Os valores são:
x(0) = 0, x(infty) = infty
F(0) = 1, F(infty) = 1
G(s) = 4s + 1s^2 + 2s

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