Para cada uma das funções abaixo, encontre os intervalos de crescimento e decrescimento, os máximo e mínimos locais. Além disso, nos itens a), b) e c), determine também os intervalos em que elas são côncavas para cima e para baixo e os pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a função
definida para todo
. Precisamos encontrar
- os intervalos de crescimento e decrescimento, e os máximos e mínimos locais;
- os intervalos de concavidade para cima e para baixo, e os pontos de inflexão.
Para isso, vamos usar o teste da primeira derivada para monotonicidade e o teste da segunda derivada para concavidade.
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada primeira usando a regra do quociente ou escrevendo
Aplicando a regra do produto e da cadeia, chega-se a
Passo 3
Para achar extremos locais, resolvemos
, o que dá
Como o denominador
é sempre positivo, o sinal de
segue o sinal de
:
- Para
, (decresce). - Para
, (cresce).
Logo há um mínimo local em, com valor
Não há pontos em que
mude de sinal de positivo para negativo, então não há máximos locais.
Passo 4
Agora calculamos a segunda derivada para analisar concavidade. Partindo de
usamos novamente produto e cadeia para obter
Passo 5
Igualando
vem
, ou seja
. Como o denominador é positivo, o sinal de
é o de
:
- Se
, então e (côncava para cima). - Se
ou , então e (côncava para baixo).
Portanto há pontos de inflexão em, com valores
Resposta
Crescimento:
Decrescimento:
Mínimo local:
Não há máximo local.
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Pontos de inflexão: e
Decrescimento:
Mínimo local:
Não há máximo local.
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Pontos de inflexão: