Para cada uma das funções abaixo, encontre os intervalos de crescimento e decrescimento, os máximo e mínimos locais. Além disso, nos itens a), b) e c), determine também os intervalos em que elas são côncavas para cima e para baixo e os pontos de inflexão.
f(x)=x^2x^2+3

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função
f(x)=x^2x^2+3
definida para todo xinR. Precisamos encontrar
  1. os intervalos de crescimento e decrescimento, e os máximos e mínimos locais;
  2. os intervalos de concavidade para cima e para baixo, e os pontos de inflexão.
    Para isso, vamos usar o teste da primeira derivada para monotonicidade e o teste da segunda derivada para concavidade.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada primeira usando a regra do quociente ou escrevendo
f'(x)=ddxl(x^2(x^2+3)^-1r)
Aplicando a regra do produto e da cadeia, chega-se a
f'(x)=6x,(x^2+3)^-2 Longrightarrow f'(x)=6x(x^2+3)^2

Passo 3

Para achar extremos locais, resolvemos f'(x)=0, o que dá
6x=0 Longrightarrow x=0
Como o denominador (x^2+3)^2 é sempre positivo, o sinal de f'(x) segue o sinal de 6x:
  • Para x<0, f'(x)<0 (decresce).
  • Para x>0, f'(x)>0 (cresce).
    Logo há um mínimo local em x=0, com valor
f(0)=0
Não há pontos em que f'(x) mude de sinal de positivo para negativo, então não há máximos locais.

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada para analisar concavidade. Partindo de
f'(x)=6x,(x^2+3)^-2,
usamos novamente produto e cadeia para obter
f''(x) =6,(x^2+3)^-2 +6xcdot(-2)(x^2+3)^-3cdot2x =18-18x^2(x^2+3)^3 =18,(1-x^2)(x^2+3)^3

Passo 5

Igualando f''(x)=0 vem 1-x^2=0, ou seja x=pm1. Como o denominador é positivo, o sinal de f'' é o de 1-x^2:
  • Se -1<x<1, então 1-x^2>0 e f''(x)>0 (côncava para cima).
  • Se x<-1 ou x>1, então 1-x^2<0 e f''(x)<0 (côncava para baixo).
    Portanto há pontos de inflexão em x=pm1, com valores
f(1)=f(-1)=14

Resposta

Crescimento: (0,infty)
Decrescimento: (-infty,0)
Mínimo local: ,(0,0)
Não há máximo local.
Concavidade para cima: (-1,1)
Concavidade para baixo: (-infty,-1)cup(1,infty)
Pontos de inflexão: l(-1,tfrac14r) e l(1,tfrac14r)

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