Calcule partial z / partial x e partial z / partial y para as seguintes funções:
z=x y raizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de z = x y raizx^2 + y^2 em relação a x e y . A matéria envolvida aqui é o cálculo de derivadas parciais, e vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a x , ou seja, partial zpartial x .
A função z é o produto de três partes: x , y e raizx^2 + y^2 . Para derivar isso em relação a x , aplicamos a regra do produto.
Então, temos:
partial zpartial x = y cdot raizx^2 + y^2 + x y cdot 12(x^2 + y^2)^-1/2 cdot 2x
Explicando:
  • A primeira parte y cdot raizx^2 + y^2 é a derivada de x vezes as outras partes.
  • A segunda parte vem da derivada de raizx^2 + y^2 em relação a x , usando a regra da cadeia.

Passo 3

Simplificando a expressão que obtivemos:
partial zpartial x = y raizx^2 + y^2 + x y cdot 2x2 raizx^2 + y^2 = y raizx^2 + y^2 + x^2 yraizx^2 + y^2
Podemos combinar os termos:
partial zpartial x = y (x^2 + y^2) + x^2 yraizx^2 + y^2 = 2 x^2 y + y^3raizx^2 + y^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a y , ou seja, partial zpartial y .
Usando a mesma abordagem, aplicamos a regra do produto:
partial zpartial y = x cdot raizx^2 + y^2 + x y cdot 12(x^2 + y^2)^-1/2 cdot 2y
Explicando:
  • A primeira parte x cdot raizx^2 + y^2 é a derivada de y vezes as outras partes.
  • A segunda parte vem da derivada de raizx^2 + y^2 em relação a y , usando a regra da cadeia.

Passo 5

Simplificando a expressão:
partial zpartial y = x raizx^2 + y^2 + x y cdot 2y2 raizx^2 + y^2 = x raizx^2 + y^2 + x y^2raizx^2 + y^2
Podemos combinar os termos:
partial zpartial y = x (x^2 + y^2) + x y^2raizx^2 + y^2 = x^3 + 2 x y^2raizx^2 + y^2

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 2 x^2 y + y^3raizx^2 + y^2
e
partial zpartial y = x^3 + 2 x y^2raizx^2 + y^2

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