Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função:
z=x^4+y^4+3 x^2 y^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função z = x^4 + y^4 + 3x^2 y^3 . Isso faz parte de Cálculo, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar uma função em relação a uma variável enquanto mantém a outra constante, e depois repetir o processo para encontrar as derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e y . Isso significa que vamos derivar z em relação a x , tratando y como uma constante, e depois derivar em relação a y , tratando x como uma constante.

Passo 3

Vamos derivar z em relação a x :
partial zpartial x = partialpartial x (x^4 + y^4 + 3x^2 y^3) = 4x^3 + 0 + 6x y^3 = 4x^3 + 6x y^3
Aqui, a derivada de x^4 em relação a x é 4x^3 , a derivada de y^4 em relação a x é 0 (já que y é constante), e a derivada de 3x^2 y^3 é 6x y^3 .

Passo 4

Agora, vamos derivar z em relação a y :
partial zpartial y = partialpartial y (x^4 + y^4 + 3x^2 y^3) = 0 + 4y^3 + 9x^2 y^2 = 4y^3 + 9x^2 y^2
Aqui, a derivada de y^4 em relação a y é 4y^3 , a derivada de x^4 em relação a y é 0, e a derivada de 3x^2 y^3 é 9x^2 y^2 .

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar novamente as primeiras derivadas parciais em relação a x e y .

Passo 6

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de segunda ordem em relação a x :
partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x ( 4x^3 + 6x y^3 ) = 12x^2 + 6 y^3
Aqui, derivamos 4x^3 para obter 12x^2 e 6x y^3 para obter 6 y^3 .

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada parcial mista: primeiro derivar em relação a x e depois em relação a y :
partial^2 zpartial y partial x = partialpartial y ( 4x^3 + 6x y^3 ) = 0 + 18x y^2 = 18x y^2
Aqui, a derivada de 4x^3 em relação a y é 0, e a derivada de 6x y^3 em relação a y é 18x y^2 .

Passo 8

Vamos agora derivar a primeira derivada parcial em relação a y novamente para encontrar a derivada parcial de segunda ordem em relação a y :
partial^2 zpartial y^2 = partialpartial y ( 4y^3 + 9x^2 y^2 ) = 12y^2 + 18x^2 y
Aqui, derivamos 4y^3 para obter 12y^2 e 9x^2 y^2 para obter 18x^2 y .

Passo 9

Por fim, podemos observar que as derivadas parciais mistas são iguais se continuarmos derivando na ordem inversa, ou seja:
partial^2 zpartial x partial y = partial^2 zpartial y partial x = 18x y^2

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função z = x^4 + y^4 + 3x^2 y^3 são:
partial^2 zpartial x^2 = 12x^2 + 6 y^3
partial^2 zpartial y^2 = 12y^2 + 18x^2 y
partial^2 zpartial x partial y = partial^2 zpartial y partial x = 18x y^2

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