Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso faz parte de Cálculo, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar uma função em relação a uma variável enquanto mantém a outra constante, e depois repetir o processo para encontrar as derivadas de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
, tratando
como uma constante, e depois derivar em relação a
, tratando
como uma constante.
Passo 3
Vamos derivar
em relação a
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é
, a derivada de
em relação a
é 0 (já que
é constante), e a derivada de
é
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é
, a derivada de
em relação a
é 0, e a derivada de
é
.
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar novamente as primeiras derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 6
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de segunda ordem em relação a
:
Aqui, derivamos
para obter
e
para obter
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a derivada parcial mista: primeiro derivar em relação a
e depois em relação a
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é 0, e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 8
Vamos agora derivar a primeira derivada parcial em relação a
novamente para encontrar a derivada parcial de segunda ordem em relação a
:
Aqui, derivamos
para obter
e
para obter
.
Passo 9
Por fim, podemos observar que as derivadas parciais mistas são iguais se continuarmos derivando na ordem inversa, ou seja:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: