Utilize a Regra de LHôpital para calcular os seguintes limites:
lim x 0(1x-1x cos (x))

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0l(1x-1xcos(x)r)
usando a Regra de L’Hopital. O conteúdo é indeterminação do tipo 0/0 e vamos precisar reconhecer a forma indeterminada e depois aplicar L’Hopital, isto é, derivar numerador e denominador até obter um limite determinado.

Passo 2

Primeiro unimos as frações em um único quociente:
1x-1xcos(x) =xcos(x)-xx^2cos(x) =xl(cos(x)-1r)x^2cos(x) =cos(x)-1xcos(x)

Passo 3

Verificamos que, ao fazermos xto0, o numerador cos(x)-1to0 e o denominador xcos(x)to0, caracterizando uma indeterminação 0/0. Portanto, podemos aplicar a Regra de L’Hopital:
limxto0cos(x)-1xcos(x) =limxto0ddxl[cos(x)-1r]ddxl[xcos(x)r]

Passo 4

Calculamos as derivadas:
  • Numerador: ddx[cos(x)-1]=-sin(x).
  • Denominador (produto): ddx[xcos(x)]=1cdotcos(x)+xcdot(-sin(x))=cos(x)-xsin(x).
    Assim o limite vira
limxto0-sin(x)cos(x)-xsin(x)

Passo 5

Agora avaliamos diretamente em x=0: o numerador fica -sin(0)=0 e o denominador cos(0)-0cdotsin(0)=1. Logo
limxto0-sin(x)cos(x)-xsin(x) =01=0

Resposta

0

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