Para cada uma das funções abaixo, encontre os intervalos de crescimento e decrescimento, os máximo e mínimos locais. Além disso, nos itens a), b) e c), determine também os intervalos em que elas são côncavas para cima e para baixo e os pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede:
– os intervalos de crescimento e de decrescimento,
– os máximos e mínimos locais,
– os intervalos de concavidade para cima e para baixo, e
– os pontos de inflexão.
O conteúdo é aplicação do teste da primeira derivada para monotonia e do teste da segunda derivada para concavidade.
– os intervalos de crescimento e de decrescimento,
– os máximos e mínimos locais,
– os intervalos de concavidade para cima e para baixo, e
– os pontos de inflexão.
O conteúdo é aplicação do teste da primeira derivada para monotonia e do teste da segunda derivada para concavidade.
Passo 2
Calcular a primeira derivada e achar pontos críticos.
Como
, temos
exatamente em
ou
, isto é, em
e
.
Passo 3
Determinar o sinal de
em cada intervalo:
– Para , o fator
,
e
tornam
.
– Para , todos os fatores são não negativos, com
, logo
.
Em o sinal de
não muda (multiplicidade par). Em
o sinal muda de negativo para positivo.
– Para
– Para
Em
Passo 4
Concluímos:
– é decrescente em
e crescente em
.
– Em há mínimo local com
–
– Em
– Não há máximo local, e em
não há troca de sinal, logo não surgem extremos ali.
Passo 5
Calcular a segunda derivada para concavidade.
Passo 6
Resolver
e estudar sinais:
– dá
.
– dá
.
–
–
Tabela de sinal de
:
– :
,
(côncava para cima).
– :
,
(côncava para baixo).
– :
,
(côncava para cima).
– :
,
(côncava para baixo).
– :
,
(côncava para cima).
–
–
–
–
–
Os pontos onde
muda de sinal são
, portanto são pontos de inflexão. Seus valores são
Resposta
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
Mínimo local: em , com
Máximo local: não existe
Intervalos côncavos para cima: ,
,
Intervalos côncavos para baixo: ,
Pontos de inflexão:
,
,
,
Intervalos de decrescimento:
Mínimo local: em
Máximo local: não existe
Intervalos côncavos para cima:
Intervalos côncavos para baixo:
Pontos de inflexão: