Para cada uma das funções abaixo, encontre os intervalos de crescimento e decrescimento, os máximo e mínimos locais. Além disso, nos itens a), b) e c), determine também os intervalos em que elas são côncavas para cima e para baixo e os pontos de inflexão.
f(x)=(x^2-1)^3

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=(x^2-1)^3 e pede:
– os intervalos de crescimento e de decrescimento,
– os máximos e mínimos locais,
– os intervalos de concavidade para cima e para baixo, e
– os pontos de inflexão.
O conteúdo é aplicação do teste da primeira derivada para monotonia e do teste da segunda derivada para concavidade.

Passo 2

Calcular a primeira derivada e achar pontos críticos.
f'(x)=3(x^2-1)^2cdot 2x=6x,(x^2-1)^2
Como (x^2-1)^2>=0, temos f'(x)=0 exatamente em x=0 ou x^2-1=0, isto é, em x=0 e x=pm1.

Passo 3

Determinar o sinal de f'(x) em cada intervalo:
– Para x<0, o fator 6>0, (x^2-1)^2>0 e x<0 tornam f'(x)<0.
– Para x>0, todos os fatores são não negativos, com x>0, logo f'(x)>0.
Em x=pm1 o sinal de f' não muda (multiplicidade par). Em x=0 o sinal muda de negativo para positivo.

Passo 4

Concluímos:
f é decrescente em (-infty,0) e crescente em (0,infty).
– Em x=0 há mínimo local com
f(0)=(-1)^3=-1
– Não há máximo local, e em x=pm1 não há troca de sinal, logo não surgem extremos ali.

Passo 5

Calcular a segunda derivada para concavidade.
f''(x)=ddxl[6x(x^2-1)^2r] =6(x^2-1)^2+6xcdot 2(x^2-1)cdot2x =6(x^2-1)l[(x^2-1)+4x^2r] =6(x^2-1)(5x^2-1)

Passo 6

Resolver f''(x)=0 e estudar sinais:
x^2-1=0 x=pm1.
5x^2-1=0 x=pm1raiz5.
Tabela de sinal de f''(x)=6,(x^2-1)(5x^2-1):
(-infty,-1): (x^2-1)>0, (5x^2-1)>0 Rightarrow f''>0 (côncava para cima).
(-1,-tfrac1raiz5): (x^2-1)<0, (5x^2-1)>0 Rightarrow f''<0 (côncava para baixo).
(-tfrac1raiz5,tfrac1raiz5): (x^2-1)<0, (5x^2-1)<0 Rightarrow f''>0 (côncava para cima).
(tfrac1raiz5,1): (x^2-1)<0, (5x^2-1)>0 Rightarrow f''<0 (côncava para baixo).
(1,infty): (x^2-1)>0, (5x^2-1)>0 Rightarrow f''>0 (côncava para cima).
Os pontos onde f'' muda de sinal são x=-1,-tfrac1raiz5,tfrac1raiz5,1, portanto são pontos de inflexão. Seus valores são
f(pm1)=0, fl(pmtfrac1raiz5r)=l(tfrac15-1r)^3=l(-tfrac45r)^3=-tfrac64125

Resposta

Intervalos de crescimento: (0,infty)
Intervalos de decrescimento: (-infty,0)
Mínimo local: em x=0, com f(0)=-1
Máximo local: não existe
Intervalos côncavos para cima: (-infty,-1), l(-tfrac1raiz5,tfrac1raiz5r), (1,infty)
Intervalos côncavos para baixo: l(-1,-tfrac1raiz5r), l(tfrac1raiz5,1r)
Pontos de inflexão:
l(-1,0r), l(-tfrac1raiz5,-tfrac64125r), l(tfrac1raiz5,-tfrac64125r), l(1,0r)

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