Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas em relação a
e
, e depois derivar essas primeiras derivadas novamente para obter as de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função é
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante. Aplicamos a regra da potência:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
,
. Aqui,
é tratado como uma constante. Derivando
:
Passo 4
Com as primeiras derivadas encontradas, vamos agora calcular as derivadas de segunda ordem. Primeiro, a derivada parcial de segunda ordem em relação a
,
, que é a derivada da primeira derivada em relação a
:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a derivada mista
, que é a derivada da primeira derivada em relação a
, agora em relação a
:
Passo 6
De maneira similar, a derivada mista
será a mesma que
devido à igualdade das derivadas mistas assumindo que as condições de continuidade são satisfeitas:
Passo 7
Por fim, calculamos a derivada parcial de segunda ordem em relação a
,
, que é a derivada da primeira derivada em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: