Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função:
z=x^3 / 2 y^-4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar as derivadas parciais de segunda ordem da função z = x^3/2 y^-4 . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas em relação a x e y , e depois derivar essas primeiras derivadas novamente para obter as de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de z em relação a x , ou seja, partial zpartial x . A função é z = x^3/2 y^-4 . Quando derivamos em relação a x , tratamos y como uma constante. Aplicamos a regra da potência:
partial zpartial x = 32 x^1/2 y^-4

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de z em relação a y , partial zpartial y . Aqui, x é tratado como uma constante. Derivando y^-4 :
partial zpartial y = -4 x^3/2 y^-5

Passo 4

Com as primeiras derivadas encontradas, vamos agora calcular as derivadas de segunda ordem. Primeiro, a derivada parcial de segunda ordem em relação a x , partial^2 zpartial x^2 , que é a derivada da primeira derivada em relação a x :
partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x ( 32 x^1/2 y^-4 ) = 34 x^-1/2 y^-4

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a derivada mista partial^2 zpartial x partial y , que é a derivada da primeira derivada em relação a x , agora em relação a y :
partial^2 zpartial x partial y = partialpartial y ( 32 x^1/2 y^-4 ) = -6 x^1/2 y^-5

Passo 6

De maneira similar, a derivada mista partial^2 zpartial y partial x será a mesma que partial^2 zpartial x partial y devido à igualdade das derivadas mistas assumindo que as condições de continuidade são satisfeitas:
partial^2 zpartial y partial x = -6 x^1/2 y^-5

Passo 7

Por fim, calculamos a derivada parcial de segunda ordem em relação a y , partial^2 zpartial y^2 , que é a derivada da primeira derivada em relação a y :
partial^2 zpartial y^2 = partialpartial y ( -4 x^3/2 y^-5 ) = 20 x^3/2 y^-6

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função z = x^3/2 y^-4 são:
partial^2 zpartial x^2 = 34 x^-1/2 y^-4
partial^2 zpartial x partial y = partial^2 zpartial y partial x = -6 x^1/2 y^-5
partial^2 zpartial y^2 = 20 x^3/2 y^-6

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