Calcule os seguintes limites.
lim x 0 xraiz2-raiz2-x

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um limite para calcular:
limx 0 xraiz2 - raiz2 - x
Isso pertence ao conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com expressões que dão uma forma indeterminada como 0/0. Pra resolver, vamos precisar manipular a expressão para eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o problema: quando x se aproxima de 0, tanto o numerador (x) quanto o denominador ( raiz2 - raiz2 - x) se aproximam de 0. Isso resulta em uma forma indeterminada 0/0, que não nos dá informações diretas sobre o limite.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, uma técnica comum é racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador. A conjugada de raiz2 - raiz2 - x é raiz2 + raiz2 - x.

Passo 4

Vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada:
xraiz2 - raiz2 - x times raiz2 + raiz2 - xraiz2 + raiz2 - x = x (raiz2 + raiz2 - x)(raiz2)^2 - (raiz2 - x)^2

Passo 5

Agora, vamos simplificar o denominador usando a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2:
(raiz2)^2 - (raiz2 - x)^2 = 2 - (2 - x) = x
Então, a expressão fica:
x (raiz2 + raiz2 - x)x

Passo 6

Os x no numerador e no denominador se cancelam:
raiz2 + raiz2 - x
Agora, o limite fica mais simples:
limx 0 (raiz2 + raiz2 - x)

Passo 7

Substituindo x por 0 na expressão simplificada:
raiz2 + raiz2 - 0 = raiz2 + raiz2 = 2raiz2

Resposta

O limite é igual a 2raiz2.

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