Para cada uma das funções abaixo, pede-se: (i) gráfico; (ii) domínio; (iii) imagem; e (iv) classificação em constante, crescente ou decrescente. Se necessário utilize a notação de intervalos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função $ j(x) = x^{2} - 5x + 6 $. A gente vai precisar falar sobre o gráfico, domínio, imagem e se a função é constante, crescente ou decrescente. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, que são aquelas do tipo $ ax^{2} + bx + c $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o gráfico da função. Como o coeficiente de $ x^{2} $ é positivo ($ a = 1 $), o gráfico vai ser uma parábola que abre para cima. Para desenhar o gráfico, precisamos encontrar o vértice e as raízes da função.
Para encontrar as raízes, resolvemos $ j(x) = 0 $:
Fatorando:
Então, as raízes são $ x = 2 $ e $ x = 3 $. Isso significa que o gráfico cruza o eixo $ x $ nesses pontos.
Agora, calculamos o vértice da parábola. A fórmula para a coordenada $ x $ do vértice é:
Substituindo na função para achar $ y_v $:
Então, o vértice está em $ \left(\frac{5}{2}, -\frac{1}{4}\right) $.
Passo 3
O domínio da função é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Como $ j(x) $ é um polinômio, ela está definida para todos os números reais. Então:
Passo 4
A imagem da função é o conjunto de valores que $ j(x) $ pode assumir. Como a parábola abre para cima e o vértice é o ponto mais baixo, o valor mínimo da função é $ -\frac{1}{4} $. Assim, a imagem é todos os valores maiores ou iguais a $ -\frac{1}{4} $:
Passo 5
Agora, vamos ver se a função é crescente ou decrescente. Para funções quadráticas que abrem para cima:
- À esquerda do vértice, a função está decrescendo.
- À direita do vértice, a função está crescendo.
No nosso caso, o vértice está em $ x = \frac{5}{2} $. Então:
A função não é constante porque seu coeficiente de $ x^{2} $ é diferente de zero.
Resposta
Para a função $ j(x) = x^{2} - 5x + 6 $:
- Gráfico: É uma parábola que abre para cima, com vértice em $ \left(\frac{5}{2}, -\frac{1}{4}\right) $ e raízes em $ x = 2 $ e $ x = 3 $.
- Domínio: $ \mathbb{R} $ (todos os números reais).
- Imagem: $ \left[ -\frac{1}{4}, +\infty \right) $.
- Classificação: A função é decrescente no intervalo $ (-\infty, \frac{5}{2}) $ e crescente no intervalo $ (\frac{5}{2}, +\infty) $.