Cada uma das funções abaixo possui uma raiz isolada no intervalo I indicado. Aplique o método da bissecção para determinar um valor aproximado para o zero destas funções com erro inferior a 0,005 .
f(x)=3 x^{3}+x^{2}+\tan (x)-1, I=[0,1]

Passo 1

O problema pede para encontrar uma raiz isolada de
f(x)=3x^{3}+x^{2}+\tan(x)-1
no intervalo I=[0,1] usando o método da bissecção, de modo que o erro na aproximação seja menor que 0,005. Vamos precisar avaliar f nos extremos e em pontos intermediários, e a cada iteração reduzir o intervalo pela metade até que sua largura seja menor que 2\times0,005=0,01.

Passo 2

Verificamos o sinal de f em a_0=0 e b_0=1:
f(0)=3\cdot0^{3}+0^{2}+\tan(0)-1=-1<0,
f(1)=3\cdot1^{3}+1^{2}+\tan(1)-1=3+1+\tan(1)-1=3+\tan(1)\approx4,557>0.
Como f(0)<0 e f(1)>0, existe pelo menos uma raiz em [0,1].

Passo 3

Aplicamos o método da bissecção até que b_k - a_k < 0,01. Nas iterações k=1,2,\dots,7 obtivemos:
\begin{aligned} k=1:&\quad m_1=\tfrac{0+1}{2}=0,5,\quad f(m_1)\approx0,1713>0\;\Rightarrow\;(a_1,b_1)=(0,0,5),\\\ k=2:&\quad m_2=\tfrac{0+0,5}{2}=0,25,\quad f(m_2)\approx-0,6351<0\;\Rightarrow\;(a_2,b_2)=(0,25,0,5),\\\ k=3:&\quad m_3=0,375,\quad f(m_3)\approx-0,3076<0\;\Rightarrow\;(a_3,b_3)=(0,375,0,5),\\\ k=4:&\quad m_4=0,4375,\quad f(m_4)\approx-0,0895<0\;\Rightarrow\;(a_4,b_4)=(0,4375,0,5),\\\ k=5:&\quad m_5=0,46875,\quad f(m_5)\approx0,0359>0\;\Rightarrow\;(a_5,b_5)=(0,4375,0,46875),\\\ k=6:&\quad m_6=0,453125,\quad f(m_6)\approx-0,0262<0\;\Rightarrow\;(a_6,b_6)=(0,453125,0,46875),\\\ k=7:&\quad m_7=0,4609375,\quad f(m_7)\approx0,0031>0\;\Rightarrow\;(a_7,b_7)=(0,453125,0,4609375). \end{aligned}
Neste ponto
b_7 - a_7 = 0,4609375 - 0,453125 = 0,0078125 < 0,01,
ou seja, o erro máximo \frac{b_7-a_7}{2}\approx0,0039<0,005.

Passo 4

A aproximação final para a raiz é o ponto médio do último intervalo:
x^* = \frac{a_7 + b_7}{2} = \frac{0,453125 + 0,4609375}{2} = 0,45703125.

Resposta

A raiz aproximada é x\approx0,4570, com erro inferior a 0,005.

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