Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
(v) f(x)=\arctan \left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\arctan\!\biggl(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\biggr).
Isso envolve regra da cadeia, derivada de raiz e derivada de quociente.

Passo 2

Defina
u(x)=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \quad\text{e}\quad f(x)=\arctan\bigl(u(x)\bigr).
Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{u'(x)}{1+\bigl(u(x)\bigr)^{2}}.

Passo 3

Para achar u'(x), note que
u(x)=\biggl(\frac{1-x}{1+x}\biggr)^{\!1/2}.
Seja
v(x)=\frac{1-x}{1+x}.
Então
v'(x) =\frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^{2}} =\frac{-2}{(1+x)^{2}}.

Passo 4

Agora
u'(x) =\frac{1}{2}\,v(x)^{-1/2}\,v'(x) =\frac{1}{2}\,\frac{-2}{(1+x)^{2}}\,\frac{1}{\sqrt{v(x)}} =-\frac{1}{(1+x)^{2}\,\sqrt{v(x)}}.
Como \sqrt{v(x)}=u(x), segue
u'(x)=-\frac{1}{(1+x)^{2}\,u(x)}.

Passo 5

Substituindo em
f'(x)=\frac{u'(x)}{1+u(x)^{2}}
temos
f'(x) =-\frac{1}{(1+x)^{2}\,u(x)}\;\frac{1}{1+u(x)^{2}}.

Passo 6

Observe que
1+u(x)^{2} =1+\frac{1-x}{1+x} =\frac{(1+x)+(1-x)}{1+x} =\frac{2}{1+x},
e que
(1+x)^{2}\,u(x) =(1+x)^{2}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = (1+x)\sqrt{1-x^{2}}.
Logo o denominador é
(1+x)^{2}\,u(x)\,(1+u(x)^{2}) = (1+x)\sqrt{1-x^{2}}\;\frac{2}{1+x} =2\sqrt{1-x^{2}}.
Então
f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}}.

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