Cada uma das funções abaixo possui uma raiz isolada no intervalo I indicado. Aplique o método da bissecção para determinar um valor aproximado para o zero destas funções com erro inferior a 0,005 .
f(x)=\operatorname{sen}(x)-x^{3}, I=\left[\frac{1}{2}, 1\right]

Passo 1

Temos a função
f(x)=\sin(x)-x^{3}
e queremos achar sua raiz no intervalo I=[\tfrac12,1] usando o método da bissecção, de modo que o erro seja inferior a 0,005. Precisamos usar o fato de que f muda de sinal em I e o critério de erro do método da bissecção.

Passo 2

Para garantir erro máximo menor que 0,005, basta escolher n de modo que
\frac{b-a}{2^{n}}\le 0,005,
isto é,
2^{n}\ge \frac{1-0,5}{0,005}=100 \quad\Longrightarrow\quad n\ge \log_{2}(100)\approx6{,}64.
Logo, n=7 iterações serão suficientes.

Passo 3

Primeiro avaliamos os extremos do intervalo inicial:
a_{0}=0,5,\quad f(a_{0})=\sin(0,5)-0,5^{3}\approx0,3544>0,
b_{0}=1,\quad f(b_{0})=\sin(1)-1\approx-0,1585<0.
Há, portanto, mudança de sinal, garantindo raiz em [a_{0},b_{0}].

Passo 4

Aplicamos 7 iterações do método da bissecção, calculando a média m_{k}=(a_{k-1}+b_{k-1})/2, avaliando f(m_{k}) e escolhendo o subintervalo onde ocorre a troca de sinal:
m_{1}=0,75,\quad f(m_{1})\approx0,2597,\quad [a_{1},b_{1}]=[0,75,\,1],
m_{2}=0,875,\quad f(m_{2})\approx0,0976,\quad [a_{2},b_{2}]=[0,875,\,1],
m_{3}=0,9375,\quad f(m_{3})\approx-0,0171,\quad [a_{3},b_{3}]=[0,875,\,0,9375],
m_{4}=0,90625,\quad f(m_{4})\approx0,0437,\quad [a_{4},b_{4}]=[0,90625,\,0,9375],
m_{5}=0,921875,\quad f(m_{5})\approx0,0141,\quad [a_{5},b_{5}]=[0,921875,\,0,9375],
m_{6}=0,9296875,\quad f(m_{6})\approx-0,0014,\quad [a_{6},b_{6}]=[0,921875,\,0,9296875],
m_{7}=0,92578125,\quad f(m_{7})\approx0,0064,\quad [a_{7},b_{7}]=[0,92578125,\,0,9296875].

Passo 5

O último intervalo tem comprimento
b_{7}-a_{7}=0,9296875-0,92578125=0,00390625,
logo o erro máximo ao escolher o ponto médio
c=\frac{a_{7}+b_{7}}{2}=0,927734375
é
\frac{b_{7}-a_{7}}{2}=0,001953125<0,005.

Resposta

Aproximando a raiz com erro inferior a 0,005, obtemos
x\approx0,927734375.

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