Cada uma das funções abaixo possui uma raiz isolada no intervalo I indicado. Aplique o método da bissecção para determinar um valor aproximado para o zero destas funções com erro inferior a 0,005 .
f(x)=x^{6}-7 x^{4}-2 x+1, I=[-1,0]

Passo 1

O enunciado pede para aproximar uma raiz isolada da função
f(x)=x^{6}-7x^{4}-2x+1
no intervalo I=[-1,0] usando o método da bissecção, de modo que o erro na aproximação seja menor que 0,005. Vamos precisar do fato de que em cada iteração o método reduz pela metade o comprimento do intervalo e garante erro máximo igual a metade do comprimento final.

Passo 2

Primeiro verificamos o critério de existência de raiz pelo sinal de f nas extremidades:
f(-1)=(-1)^{6}-7(-1)^{4}-2(-1)+1=1-7+2+1=-3,\qquad f(0)=1.
Como f(-1)\cdot f(0)<0, há pelo menos uma raiz em [-1,0].
Para assegurar erro menor que 0,005, precisamos que o comprimento final do intervalo seja
b_n - a_n < 2\cdot 0,005 = 0,01.
Como em cada iteração o intervalo é dividido por 2, basta aplicar a bissecção até ter b_n - a_n <0,01.

Passo 3

Aplicando a bissecção sucessivas vezes, com a_0=-1 e b_0=0:
Na iteração 1 temos
m_1=\tfrac{-1+0}{2}=-0,5,\quad f(m_1)\approx0,0156-0,4375+1+1=1,5781>0,
logo a raiz está em [-1,-0,5].
Na iteração 2
m_2=\tfrac{-1+(-0,5)}{2}=-0,75,\quad f(m_2)\approx0,17798-2,21484+2,5=0,46313>0,
novo intervalo [-1,-0,75].
Na iteração 3
m_3=-0,875,\quad f(m_3)\approx0,44855-4,10327+2,75=-0,90472<0,
novo intervalo [-0,875,-0,75].
Na iteração 4
m_4=-0,8125,\quad f(m_4)\approx0,28743-3,05064+2,625=-0,13821<0,
novo intervalo [-0,8125,-0,75].
Na iteração 5
m_5=-0,78125,\quad f(m_5)\approx0,22701-2,60790+2,5625=0,18161>0,
novo intervalo [-0,8125,-0,78125].
Na iteração 6
m_6=-0,796875,\quad f(m_6)\approx0,25641-2,82269+2,59375=0,02747>0,
novo intervalo [-0,8125,-0,796875].
Na iteração 7
m_7=-0,8046875,\quad f(m_7)\approx0,27177-2,93509+2,609375=-0,05395<0,
novo intervalo [-0,8046875,-0,796875], cujo comprimento é
-0,796875 - (-0,8046875) = 0,0078125 < 0,01.

Passo 4

Com isso, qualquer ponto desse último intervalo tem erro máximo menor que 0,005. Tomando o ponto médio
x\approx m_8=\tfrac{-0,8046875+(-0,796875)}{2}=-0,80078125
obtemos uma aproximação da raiz com erro inferior a 0,005.

Resposta

A raiz aproximada é -0,80078 (erro <0,005).

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