Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
xvii. f(x)=x^{2} e^{\arctan x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^{2}e^{\arctan x}.
O conteúdo necessário é a regra do produto (para x^{2} vezes e^{\arctan x}) e a regra da cadeia (para derivar e^{\arctan x}).

Passo 2

Pela regra do produto,
f'(x)=\bigl(x^{2}\bigr)'\,e^{\arctan x}+x^{2}\,\bigl(e^{\arctan x}\bigr)'.
Como \bigl(x^{2}\bigr)'=2x, obtemos
f'(x)=2x\,e^{\arctan x}+x^{2}\,\bigl(e^{\arctan x}\bigr)'.

Passo 3

Para \bigl(e^{\arctan x}\bigr)' usamos a regra da cadeia:
\bigl(e^{\arctan x}\bigr)'=e^{\arctan x}\cdot\bigl(\arctan x\bigr)' \quad\text{e}\quad \bigl(\arctan x\bigr)'=\frac{1}{1+x^{2}}.
Logo,
\bigl(e^{\arctan x}\bigr)'=\frac{e^{\arctan x}}{1+x^{2}}.

Passo 4

Substituindo em f'(x),
f'(x)=2x\,e^{\arctan x} + x^{2}\,\frac{e^{\arctan x}}{1+x^{2}} = e^{\arctan x}\Bigl(2x+\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\Bigr).

Passo 5

Colocando tudo sobre um denominador comum 1+x^{2}:
2x+\frac{x^{2}}{1+x^{2}} =\frac{2x(1+x^{2})+x^{2}}{1+x^{2}} =\frac{2x+2x^{3}+x^{2}}{1+x^{2}} =\frac{x(2x^{2}+x+2)}{1+x^{2}}.
Portanto,
f'(x)=e^{\arctan x}\,\frac{x(2x^{2}+x+2)}{1+x^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{x(2x^{2}+x+2)}{1+x^{2}}\,e^{\arctan x}.

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