Cada uma das funções abaixo possui uma raiz isolada no intervalo I indicado. Aplique o método da bissecção para determinar um valor aproximado para o zero destas funções com erro inferior a 0,005 .
f(x)=2 x^{2}-e^{x}, I=[0,2]

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz isolada de
f(x)=2x^{2}-e^{x}
no intervalo I=[0,2] usando o método da bissecção, de modo que o erro seja inferior a 0,005. O conteúdo necessário é o Teorema do Valor Intermediário e o método da bissecção, com sua estimativa de erro.

Passo 2

O método da bissecção baseia-se no fato de que, se f é contínua em [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0, então existe ao menos uma raiz em (a,b). A cada iteração, definimos o ponto médio
c=\frac{a+b}{2},
avaliamos f\text{(c)} e escolhemos o subintervalo [a,c] ou [c,b] onde o sinal de f muda. O erro após n iterações satisfaz
\frac{b-a}{2^{n}}<\varepsilon,
onde \varepsilon é a tolerância desejada.

Passo 3

Aqui a_{0}=0, b_{0}=2 e queremos \varepsilon=0,005. Precisamos de n tal que
\frac{2}{2^{n}}<0,005 \quad\Longrightarrow\quad 2^{n}>400 \quad\Longrightarrow\quad n>\log_{2}(400)\approx8{,}64.
Logo, tomamos n=9 iterações.

Passo 4

Aplicando 9 iterações de bissecção:
Iteração 1: a_{0}=0, b_{0}=2,
c_{1}=\frac{0+2}{2}=1,\quad f(1)=2- e\approx-0,718.
Como f(0)\cdot f(1)=(-1)\cdot(-0,718)>0, tomamos [a_{1},b_{1}]=[1,2].
Iteração 2: a_{1}=1, b_{1}=2,
c_{2}=\tfrac{1+2}{2}=1{,}5,\quad f(1{,}5)=4{,}5- e^{1{,}5}\approx0{,}018.
Como f(1)\cdot f(1{,}5)<0, tomamos [a_{2},b_{2}]=[1,\,1{,}5].
Iteração 3: a_{2}=1, b_{2}=1{,}5,
c_{3}=1{,}25,\quad f(1{,}25)\approx3{,}125-3{,}490=-0,365.
Sinal muda em [1{,}25,\,1{,}5].
Iteração 4: a_{3}=1{,}25, b_{3}=1{,}5,
c_{4}=1{,}375,\quad f(1{,}375)\approx3{,}781-3{,}955=-0,174.
Sinal muda em [1{,}375,\,1{,}5].
Iteração 5: a_{4}=1{,}375, b_{4}=1{,}5,
c_{5}=1{,}4375,\quad f(1{,}4375)\approx4{,}133-4{,}209=-0,076.
Sinal muda em [1{,}4375,\,1{,}5].
Iteração 6: a_{5}=1{,}4375, b_{5}=1{,}5,
c_{6}=1{,}46875,\quad f(1{,}46875)\approx4{,}316-4{,}343=-0,027.
Sinal muda em [1{,}46875,\,1{,}5].
Iteração 7: a_{6}=1{,}46875, b_{6}=1{,}5,
c_{7}=1{,}484375,\quad f(1{,}484375)\approx4{,}407-4{,}412=-0,005.
Sinal muda em [1{,}484375,\,1{,}5].
Iteração 8: a_{7}=1{,}484375, b_{7}=1{,}5,
c_{8}=1{,}4921875,\quad f(1{,}4921875)\approx4{,}455-4{,}446=0{,}009.
Sinal muda em [1{,}484375,\,1{,}4921875].
Iteração 9: a_{8}=1{,}484375, b_{8}=1{,}4921875,
c_{9}=1{,}48828125,\quad f(1{,}48828125)\approx4{,}431-4{,}429=0{,}002.
O comprimento do intervalo [a_{9},b_{9}]=[1{,}484375,\,1{,}4921875] é 0{,}0078125<0{,}01, garantindo erro <0{,}005. Podemos então tomar como aproximação o ponto médio final
x\approx\frac{1{,}484375+1{,}4921875}{2}=1{,}48828125\pm0{,}0039.

Resposta

A raiz aproximada, com erro inferior a 0,005, é
x\approx1{,}4883.

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