Para cada uma das funções dadas nos exercícios 17 a 22, determine (f circ g)(x) e (g circ f)(x).
f(x)=x+1x, g(x)=x+1x+2

Passo 1

O enunciado pede que calculemos as composições (fcirc g)(x) e (gcirc f)(x), sabendo que
f(x)=x+1x, g(x)=x+1x+2
Para isso, vamos primeiro substituir g(x) em f e depois f(x) em g, fazendo a simplificação algébrica.

Passo 2

Calcular (fcirc g)(x)=fl(g(x)r). Substituindo g(x) em f, temos
fl(g(x)r) = g(x) + 1g(x) = x+1x+2 + x+2x+1
Agora, somamos as frações sobre o mesmo denominador:
x+1x+2 + x+2x+1 = (x+1)^2 + (x+2)^2(x+2)(x+1) = x^2+2x+1 + x^2+4x+4x^2+3x+2 = 2x^2+6x+5x^2+3x+2

Passo 3

Calcular (gcirc f)(x)=gl(f(x)r). Substituindo f(x) em g, temos
gl(f(x)r) = f(x)+1f(x)+2 = x + 1x + 1 x + 1x + 2
Escrevendo numerador e denominador sobre o mesmo divisor x:
num = x + 1x + 1 = x^2 + x + 1x, den = x + 1x + 2 = x^2 + 2x + 1x = (x+1)^2x
Dividindo, o x cancela e sobra
x^2+x+1x(x+1)^2x = x^2+x+1(x+1)^2

Resposta

(fcirc g)(x) = 2x^2+6x+5x^2+3x+2, (gcirc f)(x) = x^2+x+1(x+1)^2

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