Verifique que y=c x+c^2, c in R, é uma família de soluções a 1-parâmetro para a EDO y=x y^prime+(y^prime)^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a família de funções
y = c x + c^2, cinR,
satisfaz a equação diferencial de primeira ordem
y = x,y' + l(y'r)^2
Para isso, vamos calcular a derivada y' em função de c e verificar que, ao substituir na EDO, o lado esquerdo e o lado direito coincidem.

Passo 2

Derivando y = c x + c^2 em relação a x, como c é constante, temos
y' = dydx = c

Passo 3

Substituindo y' na equação diferencial:
o lado direito é
x,y' + l(y'r)^2 = xcdot c + c^2 = c x + c^2,
que é exatamente o lado esquerdo y = c x + c^2.

Resposta

A família y = c x + c^2 satisfaz identicamente a EDO y = x,y' + (y')^2, logo é um conjunto de soluções de um parâmetro.

Exercícios relacionados