Para cada uma das funções dadas nos exercícios 17 a 22, determine (f circ g)(x) e (g circ f)(x).
f(x)=|x-4| sin x, g(x)=xx+1

Passo 1

O enunciado pede para formarmos as composições (fcirc g)(x) e (gcirc f)(x) a partir de
f(x)=lvert x-4rvertsin x, g(x)=xx+1
O conteúdo principal é substituição de uma função na outra.

Passo 2

Para obter (fcirc g)(x)=fl(g(x)r), substituímos x por g(x) em f:
(fcirc g)(x) =f!l(xx+1r) =llvert xx+1-4rrvert, sin!l(xx+1r)
Podemos simplificar o argumento do valor absoluto:
xx+1-4 =x-4(x+1)x+1 =-3x-4x+1,
de modo que
llvert xx+1-4rrvert =lvert 3x+4rvertlvert x+1rvert
Assim,
(fcirc g)(x) =lvert 3x+4rvertlvert x+1rvert, sin!l(xx+1r),
com xneq -1 para g(x) estar definido.

Passo 3

Para (gcirc f)(x)=gl(f(x)r), substituímos x por f(x) em g:
(gcirc f)(x) =gl(lvert x-4rvertsin xr) =lvert x-4rvertsin xlvert x-4rvertsin x +1
Aqui a única restrição é lvert x-4rvertsin x neq -1, para não zerar o denominador.

Resposta

(fcirc g)(x) =lvert 3x+4rvertlvert x+1rvert, sin!l(xx+1r), xneq -1,
(gcirc f)(x) =lvert x-4rvertsin xlvert x-4rvertsin x +1, lvert x-4rvertsin x neq -1

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