Suponha que para uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por:
xyz.
Em que direção V varia mais rapidamente em P?
Em que direção V varia mais rapidamente em P?
Passo 1
O enunciado dá o potencial elétrico em uma região do espaço como
e pergunta em que direção, no ponto
, esse potencial varia mais rapidamente. Vamos precisar usar o conceito de gradiente e derivada direcional.
Passo 2
O gradiente de uma função escalar
é o vetor formado pelas derivadas parciais de
. Ele aponta na direção de maior crescimento de
e seu módulo é a taxa máxima de variação. Ou seja, se
for o gradiente, a direção de máximo aumento é na direção de
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 4
Então o gradiente é
Passo 5
A direção em que
varia mais rapidamente no ponto
é dada pelo vetor gradiente avaliado nesse ponto:
Passo 6
Se quisermos um vetor unitário nessa direção, basta normalizar:
Resposta
A direção de variação mais rápida de V em P é dada pelo vetor gradiente
, ou seja, na direção de
(ou seu correspondente unitário).