Suponha que para uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por: V(x, y, z)=x 2-3 xy+ xyz.
Em que direção V varia mais rapidamente em P?

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico em uma região do espaço como V(x,y,z)=x^2-3xy+xyz e pergunta em que direção, no ponto P, esse potencial varia mais rapidamente. Vamos precisar usar o conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

O gradiente de uma função escalar V(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais de V. Ele aponta na direção de maior crescimento de V e seu módulo é a taxa máxima de variação. Ou seja, se nabla V for o gradiente, a direção de máximo aumento é na direção de nabla V.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de V:
partial Vpartial x=2x-3y+yz,
partial Vpartial y=-3x+xz,
partial Vpartial z=xy

Passo 4

Então o gradiente é
nabla V(x,y,z)=l(2x-3y+yz,;-3x+xz,;xyr)

Passo 5

A direção em que V varia mais rapidamente no ponto P=(x0,y0,z0) é dada pelo vetor gradiente avaliado nesse ponto:
nabla V(P)=l(2x0-3y0+y0z0,;-3x0+x0z0,;x0y0r)

Passo 6

Se quisermos um vetor unitário nessa direção, basta normalizar:
u=nabla V(P)|nabla V(P)|

Resposta

A direção de variação mais rápida de V em P é dada pelo vetor gradiente nabla V(P)=(2x0-3y0+y0z0,,-3x0+x0z0,,x0y0), ou seja, na direção de nabla V(P) (ou seu correspondente unitário).

Exercícios relacionados