Para cada uma das funções, determine as derivadas parciais indicadas:
,
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de terceira ordem da função
. O assunto principal é derivada parcial de ordem superior, usando principalmente a regra da cadeia e, quando necessário, produto de funções. Vamos usar a notação
para simplificar as contas.
Passo 2
Primeiro, calculamos
. Como
, pela regra da cadeia temos
Como
, resulta
Passo 3
Em seguida, elevamos em mais uma derivação em
para obter
. Derivando
em relação a
(produto de
por
):
Passo 4
Agora, diferenciamos
em relação a
para achar
. Como
e
dependem de
, usa-se novamente a regra da cadeia:
Substituindo
, ficamos com
Passo 5
Para a derivada mista
, seguimos a ordem: primeiro em
, depois em
e por fim em
. Já temos
. Derivando em
:
Finalmente, em
: