Para cada uma das funções, determine as derivadas parciais indicadas: w=(x^2+4 y^2-5 z^2)^3,
partial^3 wpartial x partial y^2, partial^3 wpartial x partial z partial y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de terceira ordem da função w=(x^2+4y^2-5z^2)^3. O assunto principal é derivada parcial de ordem superior, usando principalmente a regra da cadeia e, quando necessário, produto de funções. Vamos usar a notação u=x^2+4y^2-5z^2 para simplificar as contas.

Passo 2

Primeiro, calculamos partial wpartial y. Como w=u^3, pela regra da cadeia temos
partial wpartial y=3u^2cdotpartial upartial y
Como partial upartial y=8y, resulta
partial wpartial y=3u^2cdot8y=24y,u^2

Passo 3

Em seguida, elevamos em mais uma derivação em y para obter partial^2 wpartial y^2. Derivando 24y,u^2 em relação a y (produto de 24y por u^2):
partial^2 wpartial y^2=24l(u^2+ycdot2ucdotpartial upartial yr)=24l(u^2+16y^2ur)=24u^2+384y^2u

Passo 4

Agora, diferenciamos partial^2 wpartial y^2 em relação a x para achar partial^3 wpartial xpartial y^2. Como u^2 e u dependem de x, usa-se novamente a regra da cadeia:
partial^3 wpartial xpartial y^2=(24cdot2u+384y^2)partial upartial x=(48u+384y^2)cdot2x=96xu+768xy^2
Substituindo u=x^2+4y^2-5z^2, ficamos com
96x(x^2+4y^2-5z^2)+768xy^2=96x^3+1152xy^2-480xz^2

Passo 5

Para a derivada mista partial^3 wpartial xpartial zpartial y, seguimos a ordem: primeiro em y, depois em z e por fim em x. Já temos partial w/partial y=24y,u^2. Derivando em z:
partial^2 wpartial zpartial y=24ycdot2ucdotpartial upartial z=48y,ucdot(-10z)=-480yz,u
Finalmente, em x:
partial^3 wpartial xpartial zpartial y=-480yzcdotpartial upartial x=-480yzcdot2x=-960xyz

Resposta

partial^3 wpartial xpartial y^2=96x^3+1152xy^2-480xz^2,partial^3 wpartial xpartial zpartial y=-960xyz

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