Para cada uma das funções z=f(x, y), determine o domínio, as curvas de nível e os traços verticais. Represente geometricamente cada um desses conjuntos e esboce o gráfico de f :
f(x, y)=x^2+9 y^2

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(x,y)=x^2+9y^2 e queremos achar o domínio, as curvas de nível (níveis horizontais), os traços verticais (seções em planos x=const e y=const) e esboçar o gráfico em R^3.

Passo 2

Como f é um polinômio de x e y, não há restrição para (x,y). Logo o domínio é
(x,y)inR^2:,x^2+9y^2 bem definido=R^2

Passo 3

As curvas de nível são dadas por f(x,y)=c, isto é,
x^2+9y^2=c
Se c<0 não há pontos reais; se c=0 é apenas o ponto (0,0); se c>0 obtemos elipses centradas na origem com semieixos
a=raizc, b=raizc3

Passo 4

Os traços verticais em planos x=x0 fixo são
z=x0^2+9y^2,
que em cada plano x=x0 é uma parábola em (y,z) deslocada para cima por x0^2.
De modo análogo, em planos y=y0 fixo temos
z=x^2+9y0^2,que em cada plano y=y0 é uma parábola em (x,z) deslocada para cima por 9y0^2.

Passo 5

Geometricamente, o gráfico de f é um paraboloide elíptico, um “bowl” que se abre para cima, cujas secções horizontais são elipses e secções verticais são parábolas.

Resposta

Domínio: R^2.
Curvas de nível: elipses x^2+9y^2=c para c>0 (vazia se c<0, ponto único se c=0).
Traços verticais: parábolas z=x0^2+9y^2 em x=x0 e z=x^2+9y0^2 em y=y0.
Gráfico: paraboloide elíptico em R^3.

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