Determinar a função derivada das seguintes funções:

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função y = x^2 + x + 1e^x. O conteúdo principal é a regra do quociente de derivadas, e vamos precisar da derivada de um polinômio e de e^x.

Passo 2

A regra do quociente afirma que, se y = u(x)v(x), então
y' = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2
Vamos usar essa fórmula para resolver o problema.

Passo 3

Definimos u(x) = x^2 + x + 1 e v(x) = e^x. Calculamos
u'(x) = 2x + 1,
v'(x) = e^x

Passo 4

Substituindo na regra do quociente, obtemos
y' = (2x + 1)e^x - (x^2 + x + 1)e^x(e^x)^2

Passo 5

Simplificando o numerador, fatoramos e^x:
y' = e^xl[(2x + 1) - (x^2 + x + 1)r]e^2x = e^x(-x^2 + x)e^2x

Passo 6

Cancelando um fator e^x no numerador e no denominador, fica
y' = -x^2 + xe^x,
que também pode ser escrito como
y' = x(1 - x)e^x

Resposta

y' = x(1 - x)e^x

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