Nos Problemas
, use um
para, primeiro, calcular
, para os dados número complexo e valor de
seguir, usando a saída e o mesmo valor de
, determine se
. Se não, explique por quê.
Passo 1
O enunciado pede para calcular primeiro
para
e
, usando a forma trigonométrica (ou polar) de
e a fórmula de De Moivre, e em seguida verificar se a raiz principal de
, isto é
, retorna de fato
. Vamos precisar representar
em módulo e argumento, aplicar e depois a definição da raiz principal .
Passo 2
Representamos
em forma polar: o módulo é
o argumento principal é
Passo 3
Aplicamos a fórmula de De Moivre para
Calculamos separadamente:
Logo,
Passo 4
Para a raiz principal de ordem 12, usamos
Como (escolhemos o argumento principal
), temos
Portanto
Passo 5
Agora comparamos com
Como
, concluímos que
Passo 6
Isso acontece porque a raiz principal escolhe o argumento de
no ramo
e divide esse único argumento por 12; já
tem argumento
. A igualdade
só vale sem ambiguidade quando o argumento de
estiver no intervalo
, o que não ocorre aqui.
Resposta
w=z^{12}=-262144 e a raiz principal w^{1/12}=2\sqrt2\cis\bigl(π/12\bigr) é diferente de z=2\sqrt2\cis\bigl(π/4\bigr) devido ao ramo escolhido para a função raiz n-ésima.