Nos Problemas 35-40, use um SAC^* para, primeiro, calcular z^n=w, para os dados número complexo e valor de n seguir, usando a saída e o mesmo valor de n, determine se z=2+2 i ; n=12. Se não, explique por quê.

Passo 1

O enunciado pede para calcular primeiro w=z^n para z=2+2i e n=12, usando a forma trigonométrica (ou polar) de z e a fórmula de De Moivre, e em seguida verificar se a raiz principal de w, isto é w^1/12, retorna de fato z. Vamos precisar representar z em módulo e argumento, aplicar e depois a definição da raiz principal .

Passo 2

Representamos z=2+2i em forma polar: o módulo é
r=|z|=raiz2^2+2^2=2raiz2,
o argumento principal é
θ=arctanl(2/2r)=π4

Passo 3

Aplicamos a fórmula de De Moivre para
Calculamos separadamente:
w=z^12=(rcis θ)^12=r^12cis(12θ)
Logo,
r^12=(2raiz2)^12=(2^3/2)^12=2^18=262144,

Passo 4

Para a raiz principal de ordem 12, usamos
Como (escolhemos o argumento principal w^1/12=|w|^1/12cisl(Arg(w)12r) ), temos
w=-262144=262144cis(π)
Portanto

Passo 5

Agora comparamos com
Como z=2+2i=2raiz2cisl(π4r) , concluímos que
π12neqπ4

Passo 6

Isso acontece porque a raiz principal escolhe o argumento de w no ramo (-π,π] e divide esse único argumento por 12; já z tem argumento π/4. A igualdade (z^n)^1/n=z só vale sem ambiguidade quando o argumento de z estiver no intervalo (-π/n,π/n], o que não ocorre aqui.

Resposta

w=z^{12}=-262144 e a raiz principal w^{1/12}=2\sqrt2\cis\bigl(π/12\bigr) é diferente de z=2\sqrt2\cis\bigl(π/4\bigr) devido ao ramo escolhido para a função raiz n-ésima.

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