Para cada uma das funções z=f(x, y), determine o domínio, as curvas de nível e os traços verticais. Represente geometricamente cada um desses conjuntos e esboce o gráfico de f :
f(x, y)=raizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para a função de duas variáveis f(x,y)= raizx^2+y^2: identificar o domínio, as curvas de nível e os traços verticais (seções fixando x ou y), além de esboçar geometricamente cada um e o gráfico em R^3. Vamos usar conceitos de domínio de funções, curvas de nível e superfícies radiais.

Passo 2

Para achar o domínio, lembramos que a raiz quadrada exige argumento não-negativo. Aqui o argumento é x²+y², que é sempre ≥0 para todo (x,y) em R^2. Portanto o domínio é todo o plano. Geometricamente:
Dom(f)=(x,y)in R^2,

Passo 3

As curvas de nível são definidas por f(x,y)=k, com k≥0. Isso dá
raizx^2+y^2=kLongrightarrow x^2+y^2=k^2
Logo cada curva de nível é a circunferência de raio k centrada na origem. Para k<0 não há nível. Graficamente veremos círculos concêntricos.

Passo 4

Os traços verticais são as seções obtidas fixando x=a ou y=b:
Para x=a temos
z=raiza^2+y^2,
que ao quadrado dá z²−y²=a², ou seja, um ramo de hipérbole no plano (y,z).
Para y=b temos
z=raizx^2+b^2,
que dá z²−x²=b², outro ramo de hipérbole no plano (x,z).

Passo 5

Por fim, o gráfico de f em R^3 é a superfície radial z= r em coordenadas polares (r,θ) com z≥0, ou seja, um cone circular reto de abertura 45° (vértice na origem e ramo superior).

Resposta

Domínio: R^2.
Curvas de nível: círculos x²+y²=k², k≥0, centrados na origem.
Traços verticais: para x=a, curva z=√(a²+y²) (ramo de hipérbole em y–z); para y=b, curva z=√(x²+b²) (ramo de hipérbole em x–z).
Gráfico: cone circular reto z=√(x²+y²), vértice na origem, ramo superior.

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