Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
sumn=1^infty ln nn^p e^n, p>0

Passo 1

O enunciado nos pede para analisar a convergência da série sumn=1^infty ln nn^p e^n, com p>0. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries de termos positivos, em particular o critério da razão.

Passo 2

O critério da razão diz que, se an>0 e
L = limntoinfty an+1an < 1,
então sum an converge absolutamente.

Passo 3

Aqui temos
an = ln nn^p e^n
Calculamos
an+1an = dfracln(n+1)(n+1)^p e^n+1dfracln nn^p e^n = ln(n+1)ln ncdotn^p(n+1)^pcdot1e
Como
limntoinftyln(n+1)ln n=1, limntoinftyn^p(n+1)^p=1,
temos
L = limntoinftyan+1an = 1e < 1

Passo 4

Como o limite da razão é L=1/e<1, a série converge absolutamente e, portanto, converge para todo p>0.

Resposta

A série é convergente para todo p>0.

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