Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série sumn=1^inftyl(raizn^2+1-nr) converge ou diverge. O conteúdo aqui é estudo de convergência de séries de termos positivos, e vamos precisar usar manipulação algébrica (racionalização) e o teste de comparação com a série harmônica.

Passo 2

Para simplificar o termo geral, racionalizamos a diferença:\
raizn^2+1-n = (raizn^2+1-n)(raizn^2+1+n)raizn^2+1+n = n^2+1 - n^2raizn^2+1+n = 1raizn^2+1+n

Passo 3

Agora vamos achar uma desigualdade simples para comparar com a harmônica. Para n>=1, temos raizn^2+1 <= n+1, logo
raizn^2+1+n <= (n+1)+n = 2n+1
Isso dá
raizn^2+1-n = 1raizn^2+1+n >= 12n+1

Passo 4

Observando que 2n+1 <= 3n para n>=1, segue
12n+1 >= 13n

Passo 5

Como sumn=1^infty tfrac13n = tfrac13 sumn=1^infty tfrac1n é a série harmônica (que diverge), pelo teste da comparação simples concluímos que nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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