Para cada uma das funções z=f(x, y), determine o domínio, as curvas de nível e os traços verticais. Represente geometricamente cada um desses conjuntos e esboce o gráfico de f :
f(x, y)=2+raizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para a função f(x,y)=2+raizx^2+y^2 que a gente determine o domínio, as curvas de nível e os traços verticais, e por fim esboce o gráfico. O conteúdo envolve radiciação (domínio), nível de funções de duas variáveis (curvas de nível) e interseção com planos (traços).

Passo 2

Para achar o domínio, note que o radicando x^2+y^2 é sempre não-negativo para todo par (x,y)in R^2. Logo não há restrição:
D = (x,y)in R^2mid x^2+y^2>=0 = R^2

Passo 3

As curvas de nível são dadas por fijar z=c. Fazendo 2+raizx^2+y^2=c obtemos
raizx^2+y^2=c-2
Para c<2 não há solução; para c>=2 temos
x^2+y^2=(c-2)^2,
ou seja, círculos centrados em (0,0) de raio r=c-2.

Passo 4

Os traços verticais vêm das interseções com planos x=a ou y=b. Fixando x=a obtemos
z=2+raiza^2+y^2,que é um perfil simétrico em y. De modo análogo, para y=b
z=2+raizx^2+b^2

Passo 5

Geométricamente o gráfico de f é um cone circular reto com vértice em (0,0,2) e geratrizes inclinadas a 45° no plano radial, e as curvas de nível são círculos num plano horizontal.
No esboço, a partir do vértice em (0,0,2) a superfície se abre uniformemente em todas as direções.

Resposta

Domínio: R^2. Curvas de nível: para cada c>=2, círculo x^2+y^2=(c-2)^2. Traços verticais: em x=a, z=2+raiza^2+y^2; em y=b, z=2+raizx^2+b^2. Gráfico: cone circular com vértice em (0,0,2).

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