Determinar a função derivada das seguintes funções:

Passo 1

Temos a função y = tan(2x²). O conteúdo aqui é derivada de função composta usando a regra da cadeia, e precisamos também saber que a derivada de tan(u) é sec²(u).

Passo 2

Vamos definir uma função interna u(x) para facilitar a aplicação da regra da cadeia. Seja u = 2x². Assim podemos reescrever y como y = tan(u).
Pela regra da cadeia, temos que a derivada dy/dx é dada por dy/du · du/dx. Primeiro, derivando a tangente em relação a u: dy/du = sec²(u), já que d/d u [tan(u)] = sec²(u).
Agora derivamos u em relação a x: du/dx = d/dx [2x²] = 4x. Aqui usamos a regra de potência e o fato de que a constante 2 sai na frente.

Passo 3

Multiplicando as duas derivadas segundo a regra da cadeia, obtemos: dy/dx = sec²(u) · 4x. Voltando à variável original, fica dy/dx = 4x·sec²(2x²).

Resposta

y'=4x,sec^2l(2x^2r)

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