Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:

Passo 1

Nesta questão temos a série sumn=1^infty sinl(tfrac1nraiz[4]n^3+6r). O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos precisar usar comparação com uma série-p e o comportamento de sin x para xto0.

Passo 2

Para grandes n, o argumento de sin é pequeno: xn=tfrac1nraiz[4]n^3+6approxtfrac1ncdot n^3/4=tfrac1n^7/4. Como xn>0 e sin x<= x para todo x>=0, temos
0<= sin(xn) <= xn

Passo 3

Definindo an=sinl(tfrac1nraiz[4]n^3+6r) e bn=tfrac1nraiz[4]n^3+6, então an<= bn. Agora verificamos a convergência de sum bn.

Passo 4

Observando que
bn=1n,(n^3+6)^1/4<=1n,n^3/4=1n^7/4,
e a série sumn=1^infty tfrac1n^7/4 é convergente (pois 7/4>1). Pelo teste de comparação direta, sum an também converge.

Resposta

A série é convergente.

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