Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
sumn=2^infty 1(ln n)^p, p>0

Passo 1

O enunciado nos pede para analisar a série de termos positivos sumn=2^infty1(ln n)^p, p>0O conteúdo principal é teste de convergência para séries de termos positivos e vamos usar o teste de condensação de Cauchy para justificar.

Passo 2

Definimos an=1/(ln n)^p. Primeiro precisamos garantir que an é positiva e decrescente para n suficientemente grande. Como a função f(x)=1/(ln x)^p tem derivada f'(x)=-p/(x(ln x)^p+1)<0 para x>1, concluímos que an é decrescente a partir de n=2.

Passo 3

O teste de condensação de Cauchy diz que a série sum an converge se, e somente se, a série condensada sumk=1^infty2^k a2^k converge. Vamos calcular cada termo condensado:

Passo 4

Para n=2^k temos a2^k=1/(ln(2^k))^p=1/(kln2)^p. Logo,
bk=2^k a2^k=2^k(kln2)^p=1(ln2)^p,2^kk^p

Passo 5

Agora analisamos sum bk. Note que a razão entre termos sucessivos é
bk+1bk=2^k+1/( (k+1)^p)2^k/(k^p)=2l(kk+1r)^pto2>1quando ktoinftyIsto mostra que bk cresce geometricamente e, portanto, sum bk diverge.

Passo 6

Como a série condensada sum bk diverge, o teste de Cauchy nos diz que a série original sumn=2^infty1/(ln n)^p também diverge para qualquer p>0.

Resposta

A série diverge para todo p>0.

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