Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
Passo 1
O enunciado nos pede para analisar a série de termos positivos
O conteúdo principal é teste de convergência para séries de termos positivos e vamos usar o teste de condensação de Cauchy para justificar.
Passo 2
Definimos
. Primeiro precisamos garantir que
é positiva e decrescente para
suficientemente grande. Como a função
tem derivada
para
, concluímos que
é decrescente a partir de
.
Passo 3
O teste de condensação de Cauchy diz que a série
converge se, e somente se, a série condensada
converge. Vamos calcular cada termo condensado:
Passo 4
Para
temos
. Logo,
Passo 5
Agora analisamos
. Note que a razão entre termos sucessivos é
Passo 6
Como a série condensada
diverge, o teste de Cauchy nos diz que a série original
também diverge para qualquer
.
Resposta
A série diverge para todo
.