Nos Problemas 17-20, use o teorema de resíduos de Cauchy, onde for apropriado, para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
ointC z+1z^2(z-2 i) d z
(a) |z|=1

Passo 1

Neste exercício temos a integral de contorno ointC z+1z^2(z-2i),dz com C: |z|=1. O conteúdo é o Teorema dos Resíduos de Cauchy e vamos precisar identificar polos de z+1z^2(z-2i) e somar os resíduos dos polos dentro de C.

Passo 2

Os polos da função são z=0 (polo de ordem 2) e z=2i (polo simples). Como o contorno é |z|=1, apenas z=0 está dentro de C.

Passo 3

Pelo Teorema dos Resíduos, . Logo só precisamos de .

Passo 4

Para calcular o resíduo em um polo duplo usamos
Derivando,
Resz=0 f(z) = limzto0 ddzl[(z-0)^2 f(z)r] = limzto0 ddzl(z+1z-2ir)
Avaliando em ddzl(z+1z-2ir) = 1cdot(z-2i) - (z+1)cdot1(z-2i)^2 = z -2i -z -1(z-2i)^2 = -1 -2i(z-2i)^2 ,

Passo 5

Finalmente, aplicando o Teorema dos Resíduos,
ointC z+1z^2(z-2i),dz = 2pi i cdot 1+2i4 = 2pi i4(1+2i) = pi i2 + pi i^2 = -pi + pi i2

Resposta

-\pi + \tfrac{\pi i}{2}

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