Desenhe o mapa de contornos das funções dadas, mostrando algumas curvas de nível:
Passo 1
O enunciado pede o “mapa de contornos” (ou curvas de nível) da função f(x,y)=x²−y². O conteúdo aqui é estudo de curvas de nível e hipérboles no plano, e vamos precisar usar a definição de curva de nível
.
Passo 2
Escrevendo a equação geral das curvas de nível: precisamos resolver
para várias constantes
Passo 3
Quando
, podemos reescrever
que é uma hipérbole com ramos abertos ao longo do eixo
que é uma hipérbole com ramos abertos ao longo do eixo
. O caso
dá linhas retas:
Passo 4
Para montar o mapa de contornos, escolhemos valores típicos de
, por exemplo
, e desenhamos cada curva. Assim, o contorno
é uma hipérbole abrindo para direita e esquerda;
é outra hipérbole semelhante, mas “mais próxima” da origem;
são as retas
;
e
são hipérboles abrindo para cima e para baixo.
Passo 5
Plotando todas no mesmo sistema coordenado, obtemos o mapa de contornos pedido.
Resposta
O mapa de contornos consiste em hipérboles dadas por x²−y²=c para vários c. Em particular, para c=2,1 formam-se hipérboles que abrem para a direita e esquerda; para c=0 são as retas y=±x; para c=−1,−2 formam-se hipérboles que abrem para cima e para baixo.