Desenhe o mapa de contornos das funções dadas, mostrando algumas curvas de nível:

Passo 1

O enunciado pede o “mapa de contornos” (ou curvas de nível) da função f(x,y)=x²−y². O conteúdo aqui é estudo de curvas de nível e hipérboles no plano, e vamos precisar usar a definição de curva de nível f(x,y)=c.

Passo 2

Escrevendo a equação geral das curvas de nível: precisamos resolver
x^2 - y^2 = c
para várias constantes c. Essa é a equação de uma hipérbole cujo tipo depende do sinal de c.

Passo 3

Quando c>0, podemos reescrever
x^2c - y^2c = 1,
que é uma hipérbole com ramos abertos ao longo do eixo x. Quando c<0, definindo d=-c>0,
y^2d - x^2d = 1,
que é uma hipérbole com ramos abertos ao longo do eixo y. O caso c=0 dá linhas retas:
x^2 - y^2 = 0 implies y=pm x

Passo 4

Para montar o mapa de contornos, escolhemos valores típicos de c, por exemplo -2,-1,0,1,2, e desenhamos cada curva. Assim, o contorno x^2 - y^2 = 2 é uma hipérbole abrindo para direita e esquerda;
x^2 - y^2 = 1 é outra hipérbole semelhante, mas “mais próxima” da origem;
x^2 - y^2 = 0 são as retas y=pm x;
x^2 - y^2 = -1 e x^2 - y^2 = -2 são hipérboles abrindo para cima e para baixo.

Passo 5

Plotando todas no mesmo sistema coordenado, obtemos o mapa de contornos pedido.

Resposta

O mapa de contornos consiste em hipérboles dadas por x²−y²=c para vários c. Em particular, para c=2,1 formam-se hipérboles que abrem para a direita e esquerda; para c=0 são as retas y=±x; para c=−1,−2 formam-se hipérboles que abrem para cima e para baixo.

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