Para cada uma das funções f(x), enumeradas a seguir de 1 a 6, tem como domínio todo o conjunto R. Para cada uma delas, siga o roteiro descrito nos itens de (a) a (g) para analisar a função e finalmente esboçar seu gráfico.
f(x)=x^3-6 x^2+9 x

Passo 1

O enunciado pede a análise completa da função
f(x)=x^3-6x^2+9x
(domínio ℝ) seguindo o roteiro:
(a) domínio e interceptos,
(b) zeros e sinal,
(c) derivada e monotonia,
(d) derivada segunda e concavidade,
(e) assíntotas,
(f) esboço do gráfico.
Conteúdo: cálculo diferencial (derivadas) e noções de análise de funções. Vamos precisar de álgebra para fatorar e de cálculo para derivar.

Passo 2

Domínio e interceptos
  • É polinomial, então o domínio é todo R.
  • Intercepto com o eixo y: basta x=0, então
f(0)=0^3-6cdot0^2+9cdot0=0,
ou seja, corta o eixo y em (0,0).
  • Intercepto com o eixo x são os zeros, que calculamos no próximo passo.

Passo 3

Zeros e sinal
  1. Fatoramos
f(x)=x^3-6x^2+9x = x,(x^2-6x+9) = x,(x-3)^2
  1. Raízes:
    • x=0 (multiplicidade 1),
    • x=3 (multiplicidade 2).
  2. Sinal:
    • Para x<0: x<0 e (x-3)^2>0 f(x)<0.
    • Para 0<x<3: x>0, (x-3)^2>0 f(x)>0.
    • Para x>3: x>0, (x-3)^2>0 f(x)>0.
      Note que em x=3 a função não muda de sinal (multiplicidade par).

Passo 4

Derivada e monotonia
  1. Calcula-se
f'(x)=ddx(x^3-6x^2+9x) =3x^2-12x+9 =3,(x^2-4x+3) =3,(x-1)(x-3)
  1. Pontos críticos de f onde f'(x)=0: x=1 e x=3.
  2. Avaliamos a ordem:
    • Em (-infty,1): escolhe x=0 f'(0)=+9>0 ⇒ crescente.
    • Em (1,3): escolhe x=2 f'(2)=3,(2-1)(2-3)=-3<0 ⇒ decrescente.
    • Em (3,infty): escolhe x=4 f'(4)=3,(4-1)(4-3)=+9>0 ⇒ crescente.
  3. Valores da função nos críticos:
f(1)=1-6+9=4, f(3)=27-54+27=0
  • Logo (1,4) é máximo local,
  • (3,0) é mínimo local.

Passo 5

Segunda derivada e concavidade
1.
f''(x)=ddxl(3x^2-12x+9r)=6x-12
  1. Ponto de inflexão onde f''(x)=0: 6x-12=0 x=2.
  2. Concavidade:
    • Para x<2: f''(x)<0 ⇒ concavidade para baixo.
    • Para x>2: f''(x)>0 ⇒ concavidade para cima.
  3. Valor do ponto de inflexão:
f(2)=8-24+18=2,
inflexão em (2,2).

Passo 6

Assíntotas
Polinômio de grau 3 não tem assíntotas verticais ou oblíquas além do comportamento limxtopminftyf(x)sim x^3.

Passo 7

Esboço do gráfico (descrição):
  • Vem de f(x)to -infty para xto -infty,
  • cruza a origem (0,0),
  • atinge máximo local em (1,4),
  • desce e passa pelo ponto de inflexão (2,2),
  • chega ao mínimo local em (3,0) (toca o eixo x e sobe),
  • cresce para +infty com concavidade pra cima.

Resposta

Gráfico de uma cúbica com:
  • raízes em 0 (simples) e em 3 (dupla),
  • máximo local em (1,4),
  • mínimo local em (3,0),
  • ponto de inflexão em (2,2),
  • crescente em (-infty,1) e (3,infty), decrescente em (1,3),
  • concavidade para baixo em (-infty,2) e para cima em (2,infty).

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