Para cada uma das funções
, enumeradas a seguir de 1 a 6, tem como domínio todo o conjunto
. Para cada uma delas, siga o roteiro descrito nos itens de (a) a (g) para analisar a função e finalmente esboçar seu gráfico.
Passo 1
O enunciado pede a análise completa da função
(domínio ℝ) seguindo o roteiro:
(a) domínio e interceptos,
(b) zeros e sinal,
(c) derivada e monotonia,
(d) derivada segunda e concavidade,
(e) assíntotas,
(f) esboço do gráfico.
Conteúdo: cálculo diferencial (derivadas) e noções de análise de funções. Vamos precisar de álgebra para fatorar e de cálculo para derivar.
(a) domínio e interceptos,
(b) zeros e sinal,
(c) derivada e monotonia,
(d) derivada segunda e concavidade,
(e) assíntotas,
(f) esboço do gráfico.
Conteúdo: cálculo diferencial (derivadas) e noções de análise de funções. Vamos precisar de álgebra para fatorar e de cálculo para derivar.
Passo 2
Domínio e interceptos
- É polinomial, então o domínio é todo
. - Intercepto com o eixo
: basta , então
ou seja, corta o eixo
em
.
- Intercepto com o eixo
são os zeros, que calculamos no próximo passo.
Passo 3
Zeros e sinal
- Fatoramos
- Raízes:
-
(multiplicidade 1), -
(multiplicidade 2).
-
- Sinal:
- Para
: e ⇒ . - Para
: , ⇒ . - Para
: , ⇒ .
Note que ema função não muda de sinal (multiplicidade par).
- Para
Passo 4
Derivada e monotonia
- Calcula-se
- Pontos críticos de
onde : e . - Avaliamos a ordem:
- Em
: escolhe ⇒ ⇒ crescente. - Em
: escolhe ⇒ ⇒ decrescente. - Em
: escolhe ⇒ ⇒ crescente.
- Em
- Valores da função nos críticos:
- Logo
é máximo local, -
é mínimo local.
Passo 5
Segunda derivada e concavidade
1.
1.
- Ponto de inflexão onde
: ⇒ . - Concavidade:
- Para
: ⇒ concavidade para baixo. - Para
: ⇒ concavidade para cima.
- Para
- Valor do ponto de inflexão:
inflexão em
.
Passo 6
Assíntotas
Polinômio de grau 3 não tem assíntotas verticais ou oblíquas além do comportamento .
Polinômio de grau 3 não tem assíntotas verticais ou oblíquas além do comportamento
Passo 7
Esboço do gráfico (descrição):
- Vem de
para , - cruza a origem
, - atinge máximo local em
, - desce e passa pelo ponto de inflexão
, - chega ao mínimo local em
(toca o eixo e sobe), - cresce para
com concavidade pra cima.
Resposta
Gráfico de uma cúbica com:
- raízes em
(simples) e em (dupla), - máximo local em
, - mínimo local em
, - ponto de inflexão em
, - crescente em
e , decrescente em , - concavidade para baixo em
e para cima em .