Calcule os limites.
(i) lim x pi e^sen x-1x-pi

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxtopie^sin x-1x-pi.
O conteúdo envolvido é cálculo de limite de forma indeterminada tfrac00 e uso da regra de l’Hôpital, que diz que se
limxto af(x)=0 e limxto ag(x)=0 e as derivadas existem, então
limxto af(x)g(x) =limxto af'(x)g'(x),
desde que esse último limite exista.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação: quando xtopi temos sinpi=0, logo
e^sin x-1;longrightarrow;e^0-1=0,
e x-pito0. Portanto a forma é tfrac00, o que autoriza aplicar l’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a regra de l’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
ddxl(e^sin x-1r) = e^sin xcos x, ddx(x-pi)=1
Assim o limite passa a ser
limxtopie^sin xcos x1

Passo 4

Basta avaliar em x=pi:
e^sin picospi = e^0cdot(-1) = -1

Resposta

-1

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