Para cada uma das funções
, enumeradas a seguir de 1 a 6, tem como domínio todo o conjunto
. Para cada uma delas, siga o roteiro descrito nos itens de (a) a (g) para analisar a função e finalmente esboçar seu gráfico.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente precisa analisar a função
que é um polinômio de grau 4, com domínio
.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- Interceptos com os eixos (achando onde
e ). - Simetria (checar se é par, ímpar ou nenhuma).
- Limites em
. - Derivada primeira para monotonicidade e extremos.
- Derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão.
- Assíntotas (mas polinômio não tem).
- Por fim, juntar tudo pra esboçar o gráfico.
Passo 2
(a) Domínio e interceptos
- Domínio:
, todo mundo serve. - Intercepto em
: basta , logo
Então cruza o eixo
em
.
- Interceptos em
: resolver
Não dá fatoração simples de bolso, mas numericamente achamos duas raízes reais positivas:
e as outras duas são complexas.
Passo 3
(b) Simetria
Para ver se é par ou ímpar, calculamos
Para ver se é par ou ímpar, calculamos
Então não é nem par nem ímpar, não tem simetria simples.
Passo 4
(c) Limites no infinito
Como o termo dominante é , quando
a função explode positivo.
Como o termo dominante é
Passo 5
(d) Derivada primeira: monotonicidade e extremos
- Derivada:
- Zeros de
: . - Sinal de
: - Para
: → função decresce. - Entre
e : → cresce. - Entre
e : → decresce. - Para
: → cresce.
- Para
- Tipo de ponto:
-
: passa de decrescente pra crescente → mínimo local. -
: passa de crescente pra decrescente → máximo local. -
: passa de decrescente pra crescente → mínimo local.
-
- Valores:
Passo 6
(e) Derivada segunda: concavidade e inflexões
- Segunda derivada:
- Pontos de inflexão: resolver
, dá
- Valores nos inflexões:
- Concavidade:
- Para
: → concava para cima. - Entre
e : → concava para baixo. - Para
: → concava para cima.
- Para
Passo 7
(f) Assíntotas
Como é polinômio de grau 4, não há assíntotas horizontais, verticais nem oblíquas.
Como é polinômio de grau 4, não há assíntotas horizontais, verticais nem oblíquas.
Passo 8
(g) Esboço do gráfico
Juntando tudo:
Juntando tudo:
- Vem de
para baixo (decresce, concava pra cima) até o mínimo . - Sobe (concava pra cima até inflexão em
, depois concava pra baixo) até o máximo . - Cai (concava pra baixo) cruza o eixo
em , passa por inflexão e chega ao mínimo . - Finalmente sobe (concava pra cima) e vai pra
.
Resposta
O gráfico de
tem:
- Mínimos locais em
e . - Máximo local em
. - Pontos de inflexão em
e . - Zeros reais em
e . - Tende a
em .
Com base nisso, é possível desenhar o esboço conforme descrito acima.