Para cada uma das funções f(x), enumeradas a seguir de 1 a 6, tem como domínio todo o conjunto R. Para cada uma delas, siga o roteiro descrito nos itens de (a) a (g) para analisar a função e finalmente esboçar seu gráfico.
f(x)=3 x^4-4 x^3-12 x^2+8

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente precisa analisar a função
f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+8
que é um polinômio de grau 4, com domínio R.
O que vamos usar:
  • Interceptos com os eixos (achando onde f(x)=0 e f(0)).
  • Simetria (checar se é par, ímpar ou nenhuma).
  • Limites em xtopminfty.
  • Derivada primeira para monotonicidade e extremos.
  • Derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão.
  • Assíntotas (mas polinômio não tem).
  • Por fim, juntar tudo pra esboçar o gráfico.

Passo 2

(a) Domínio e interceptos
  • Domínio: R, todo mundo serve.
  • Intercepto em y: basta x=0, logo
f(0)=8
Então cruza o eixo y em (0,8).
  • Interceptos em x: resolver
3x^4-4x^3-12x^2+8=0
Não dá fatoração simples de bolso, mas numericamente achamos duas raízes reais positivas:
xapprox0.78e xapprox2.69,
e as outras duas são complexas.

Passo 3

(b) Simetria
Para ver se é par ou ímpar, calculamos
f(-x)=3x^4+4x^3-12x^2+8ne f(x)e f(-x)ne -f(x)
Então não é nem par nem ímpar, não tem simetria simples.

Passo 4

(c) Limites no infinito
Como o termo dominante é 3x^4, quando lvert xrverttoinfty a função explode positivo.
limxto+inftyf(x)=+infty, limxto-inftyf(x)=+infty

Passo 5

(d) Derivada primeira: monotonicidade e extremos
  1. Derivada:
f'(x)=ddx(3x^4-4x^3-12x^2+8) =12x^3-12x^2-24x =12x,(x^2-x-2) =12x,(x-2),(x+1)
  1. Zeros de f': x=-1,0,2.
  2. Sinal de f':
    • Para x<-1: f'<0 → função decresce.
    • Entre -1 e 0: f'>0 → cresce.
    • Entre 0 e 2: f'<0 → decresce.
    • Para x>2: f'>0 → cresce.
  3. Tipo de ponto:
    • x=-1: passa de decrescente pra crescente → mínimo local.
    • x=0: passa de crescente pra decrescente → máximo local.
    • x=2: passa de decrescente pra crescente → mínimo local.
  4. Valores:
f(-1)=3, f(0)=8, f(2)=-24

Passo 6

(e) Derivada segunda: concavidade e inflexões
  1. Segunda derivada:
f''(x)=ddx(12x^3-12x^2-24x) =36x^2-24x-24 =12,(3x^2-2x-2)
  1. Pontos de inflexão: resolver 3x^2-2x-2=0, dá
x=1pmraiz73 ;approx;-0.55e1.22
  1. Valores nos inflexões:
f(-0.55)approx5.32, f(1.22)approx-10.35
  1. Concavidade:
    • Para x<-0.55: f''>0 → concava para cima.
    • Entre -0.55 e 1.22: f''<0 → concava para baixo.
    • Para x>1.22: f''>0 → concava para cima.

Passo 7

(f) Assíntotas
Como é polinômio de grau 4, não há assíntotas horizontais, verticais nem oblíquas.

Passo 8

(g) Esboço do gráfico
Juntando tudo:
  • Vem de +infty para baixo (decresce, concava pra cima) até o mínimo (-1,3).
  • Sobe (concava pra cima até inflexão em -0.55,5.32, depois concava pra baixo) até o máximo (0,8).
  • Cai (concava pra baixo) cruza o eixo x em (0.78,0), passa por inflexão (1.22,-10.35) e chega ao mínimo (2,-24).
  • Finalmente sobe (concava pra cima) e vai pra +infty.

Resposta

O gráfico de f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+8 tem:
  • Mínimos locais em (-1,3) e (2,-24).
  • Máximo local em (0,8).
  • Pontos de inflexão em l(-0.55,5.32r) e l(1.22,-10.35r).
  • Zeros reais em xapprox0.78 e xapprox2.69.
  • Tende a +infty em pminfty.
Com base nisso, é possível desenhar o esboço conforme descrito acima.

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