Para cada uma das funções f(x), enumeradas a seguir de 1 a 6, tem como domínio todo o conjunto R. Para cada uma delas, siga o roteiro descrito nos itens de (a) a (g) para analisar a função e finalmente esboçar seu gráfico.
f(x)=x^2+3x^2+1

Passo 1

Temos a função
f(x)=x^2+3x^2+1,
definida em R. Para analisá-la, vamos seguir este roteiro:
(a) domínio;
(b) interceptos com os eixos;
(c) simetria/paridade;
(d) limites em pminfty e assíntotas horizontais;
(e) monotonicidade e extremos usando f';
(f) concavidade e pontos de inflexão usando f'';
(g) esboço do gráfico.

Passo 2

Para o domínio observamos que o denominador x^2+1 nunca se anula em R. Logo,
Domínio(f)=R í

Passo 3

Intercepto com o eixo x vem de f(x)=0, i.e. x^2+3=0, que não tem solução real. Então não há zeros reais.
Intercepto com o eixo y é f(0)=tfrac0^2+30^2+1=3, ou seja, o ponto (0,3).

Passo 4

Para a simetria calculamos
f(-x)=(-x)^2+3(-x)^2+1=x^2+3x^2+1=f(x),
logo f é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 5

Calculamos o limite em infinito:
limxtopminftyf(x) =limxtopminftyx^2+3x^2+1 =1+01+0=1
Isto mostra que y=1 é uma assíntota horizontal para xto+infty e xto-infty.

Passo 6

Derivamos para estudar monotonicidade e extremos:
f'(x) =(2x)(x^2+1)-(x^2+3)(2x)(x^2+1)^2 =2xl((x^2+1)-(x^2+3)r)(x^2+1)^2 =-4x(x^2+1)^2
O sinal de f'(x) é dado por -4x, pois (x^2+1)^2>0. Assim f'(x)>0 para x<0 e f'(x)<0 para x>0. Há um único ponto crítico em x=0, onde f'(0)=0, e troca de crescente para decrescente, caracterizando um máximo local (e global) em
(x,f(x))=(0,3)

Passo 7

Segunda derivada para concavidade e inflexão:
f''(x) = ddx!l(-4x(x^2+1)^-2r) =4,3x^2-1(x^2+1)^3
O sinal de f''(x) depende de 3x^2-1: se |x|<tfrac1raiz3 então 3x^2-1<0 (concavidade para baixo), e se |x|>tfrac1raiz3 então 3x^2-1>0 (concavidade para cima). Há pontos de inflexão em x=pmtfrac1raiz3, com
f!l(pmtfrac1raiz3r) =(tfrac13)+3(tfrac13)+1 =tfrac103tfrac43 =104=2,5

Passo 8

Esboço do gráfico:
– Como f é par, basta considerar x>=0 e refletir.
– Limita-se a y=1 nas extremidades, traçando a assíntota horizontal y=1.
– Cresce em (-infty,0) até o máximo (0,3) e decresce em (0,infty).
– Tem inflexões em l(pmtfrac1raiz3,2,5r), sendo côncavo para cima fora desse intervalo e para baixo entre -tfrac1raiz3 e tfrac1raiz3.
Com esses pontos e comportamentos temos um “cadeado” que se aproxima de y=1 e atinge o pico 3 em x=0.

Resposta

O gráfico de f(x)=x^2+3x^2+1 é uma curva simétrica em torno de y com máximo em (0,3), assíntota horizontal y=1, sem zeros reais, inflexões em l(pmtfrac1raiz3,2,5r), côncava para baixo em l(-tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r) e côncava para cima fora desse intervalo.

Exercícios relacionados