Para cada uma das funções
, enumeradas a seguir de 1 a 6, tem como domínio todo o conjunto
. Para cada uma delas, siga o roteiro descrito nos itens de (a) a (g) para analisar a função e finalmente esboçar seu gráfico.
Passo 1
Temos a função
definida em
. Para analisá-la, vamos seguir este roteiro:
(a) domínio;
(b) interceptos com os eixos;
(c) simetria/paridade;
(d) limites em e assíntotas horizontais;
(e) monotonicidade e extremos usando ;
(f) concavidade e pontos de inflexão usando ;
(g) esboço do gráfico.
(a) domínio;
(b) interceptos com os eixos;
(c) simetria/paridade;
(d) limites em
(e) monotonicidade e extremos usando
(f) concavidade e pontos de inflexão usando
(g) esboço do gráfico.
Passo 2
Para o domínio observamos que o denominador
nunca se anula em
. Logo,
Passo 3
Intercepto com o eixo
vem de
, i.e.
, que não tem solução real. Então não há zeros reais.
Intercepto com o eixo é
, ou seja, o ponto
.
Intercepto com o eixo
Passo 4
Para a simetria calculamos
logo
é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 5
Calculamos o limite em infinito:
Isto mostra que
é uma assíntota horizontal para
e
.
Passo 6
Derivamos para estudar monotonicidade e extremos:
O sinal de
é dado por
, pois
. Assim
para
e
para
. Há um único ponto crítico em
, onde
, e troca de crescente para decrescente, caracterizando um máximo local (e global) em
Passo 7
Segunda derivada para concavidade e inflexão:
O sinal de
depende de
: se
então
(concavidade para baixo), e se
então
(concavidade para cima). Há pontos de inflexão em
, com
Passo 8
Esboço do gráfico:
– Como é par, basta considerar
e refletir.
– Limita-se a nas extremidades, traçando a assíntota horizontal
.
– Cresce em até o máximo
e decresce em
.
– Tem inflexões em , sendo côncavo para cima fora desse intervalo e para baixo entre
e
.
Com esses pontos e comportamentos temos um “cadeado” que se aproxima de e atinge o pico
em
.
– Como
– Limita-se a
– Cresce em
– Tem inflexões em
Com esses pontos e comportamentos temos um “cadeado” que se aproxima de
Resposta
O gráfico de
é uma curva simétrica em torno de
com máximo em
, assíntota horizontal
, sem zeros reais, inflexões em
, côncava para baixo em
e côncava para cima fora desse intervalo.