Determine se a sequência é convergente ou divergente. Se ela convergir, encontre o limite.
(d) an=3 n^3+12 n^2+n

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a convergência da sequência
an = 3n^3 + 12n^2 + n
que é uma sequência de termos reais indexada por n. O conteúdo aqui é comparação de polinômios para ntoinfty e uso de limites em sequências racionais.

Passo 2

Como o grau do polinômio do numerador ( deg=3) é maior que o do denominador ( deg=2), esperamos que lvert anrverttoinfty. Para ver isso formalmente, fatoramos n^2 em cima e embaixo:
an = n^2l(3n + tfrac1n^2r)n^2l(2 + tfrac1nr) = 3n + tfrac1n^22 + tfrac1n = n cdot 3 + tfrac1n^32 + tfrac1n
À medida que ntoinfty, tfrac1nto0 e tfrac1n^3to0, logo
an sim ncdot32 Longrightarrow anto +infty

Passo 3

Como anto+infty, a sequência não converge para um número finito. Dizemos que ela diverge ao infinito.

Resposta

A sequência diverge com anto+infty.

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