Para cada uma das funções
, enumeradas a seguir de 1 a 6, tem como domínio todo o conjunto
. Para cada uma delas, siga o roteiro descrito nos itens de (a) a (g) para analisar a função e finalmente esboçar seu gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a função
segundo um roteiro típico de cálculo diferencial: domínio, interceptos, simetria, assíntotas, monotonicidade e extremos (primeira derivada), concavidade e pontos de inflexão (segunda derivada) e, por fim, esboçar o gráfico.
Passo 2
Determinamos o domínio e os interceptos.
– O denominador nunca se anula para
, logo o domínio é todo
.
– Intercepto com o eixo :
, então passa pela origem.
– Intercepto com o eixo : resolve-se
. É novamente a origem.
– O denominador
– Intercepto com o eixo
– Intercepto com o eixo
Passo 3
Estudamos simetria e assíntotas.
– Simetria:
– Simetria:
logo
é ímpar e o gráfico é simétrico em relação à origem.
– Assíntotas:
Para ,
– Assíntotas:
Para
portanto há assíntota horizontal
. Não há assíntotas verticais.
Passo 4
Calculamos a primeira derivada e estudamos monotonicidade e extremos locais.
– Zeros de
:
.
– Sinal de :
Para
,
(função crescente).
Para
,
(função decrescente).
Assim é mínimo local e
é máximo local.
– Sinal de
Assim
Passo 5
Calculamos a segunda derivada e estudamos concavidade e pontos de inflexão.
– Zeros de
:
ou
(isto é,
).
– Sinal de : o denominador é sempre positivo, então o sinal vem de
.
Em
:
e
produto<
côncavo para baixo.
Em
:
e
produto>
côncavo para cima.
Em
:
e
produto<
côncavo para baixo.
Em
:
e
produto>
côncavo para cima.
Logo há pontos de inflexão em , com
– Sinal de
Logo há pontos de inflexão em
Passo 6
Resumo dos pontos críticos e desenho do gráfico:
– Domínio: .
– Intercepto único na origem .
– Simetria ímpar (origem).
– Assíntota horizontal .
– Extremantes: mínimo local em , máximo local em
.
– Pontos de inflexão em ,
e
.
O gráfico cresce em , decresce fora desse intervalo, alterna concavidade conforme descrito e se aproxima de
nas extremidades.
– Domínio:
– Intercepto único na origem
– Simetria ímpar (origem).
– Assíntota horizontal
– Extremantes: mínimo local em
– Pontos de inflexão em
O gráfico cresce em
Resposta
O esboço é uma curva ímpar que passa pela origem, sobe até
, desce depois, tem inflexões em
e volta-se para
conforme
.