Para cada uma das funções f(x), enumeradas a seguir de 1 a 6, tem como domínio todo o conjunto R. Para cada uma delas, siga o roteiro descrito nos itens de (a) a (g) para analisar a função e finalmente esboçar seu gráfico.
f(x)=4 xx^2+1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função
f(x)=4xx^2+1
segundo um roteiro típico de cálculo diferencial: domínio, interceptos, simetria, assíntotas, monotonicidade e extremos (primeira derivada), concavidade e pontos de inflexão (segunda derivada) e, por fim, esboçar o gráfico.

Passo 2

Determinamos o domínio e os interceptos.
– O denominador x^2+1 nunca se anula para xinR, logo o domínio é todo R.
– Intercepto com o eixo y: f(0)=0, então passa pela origem.
– Intercepto com o eixo x: resolve-se f(x)=0iff 4x=0iff x=0. É novamente a origem.

Passo 3

Estudamos simetria e assíntotas.
– Simetria:
f(-x)=4(-x)(-x)^2+1=-4xx^2+1=-f(x),
logo f é ímpar e o gráfico é simétrico em relação à origem.
– Assíntotas:
Para xtopminfty,
f(x)=4xx^2+1sim4xx^2=4xto 0,
portanto há assíntota horizontal y=0. Não há assíntotas verticais.

Passo 4

Calculamos a primeira derivada e estudamos monotonicidade e extremos locais.
f'(x) =4(x^2+1)-4xcdot2x(x^2+1)^2 =4-4x^2(x^2+1)^2 =41-x^2(x^2+1)^2
– Zeros de f': 1-x^2=0iff x=pm1.
– Sinal de f':
bul<=t Para |x|<1, 1-x^2>0 Rightarrow f'>0 (função crescente).
bul<=t Para |x|>1, 1-x^2<0 Rightarrow f'<0 (função decrescente).
Assim x=-1 é mínimo local e x=1 é máximo local.
f(-1)=-42=-2, f(1)=42=2

Passo 5

Calculamos a segunda derivada e estudamos concavidade e pontos de inflexão.
f''(x) =-8x3-x^2(x^2+1)^3
– Zeros de f'': x=0 ou x^2=3 (isto é, x=pmraiz3).
– Sinal de f'': o denominador é sempre positivo, então o sinal vem de -x(3-x^2).
bul<=t Em (-infty,-raiz3): -x>0 e 3-x^2<0 Rightarrow produto< 0Rightarrow côncavo para baixo.
bul<=t Em (-raiz3,0): -x>0 e 3-x^2>0 Rightarrow produto> 0Rightarrow côncavo para cima.
bul<=t Em (0,raiz3): -x<0 e 3-x^2>0 Rightarrow produto< 0Rightarrow côncavo para baixo.
bul<=t Em (raiz3,infty): -x<0 e 3-x^2<0 Rightarrow produto> 0Rightarrow côncavo para cima.
Logo há pontos de inflexão em x=-raiz3,0,raiz3, com
f(-raiz3)=-raiz3, f(0)=0, f(raiz3)=raiz3

Passo 6

Resumo dos pontos críticos e desenho do gráfico:
– Domínio: R.
– Intercepto único na origem (0,0).
– Simetria ímpar (origem).
– Assíntota horizontal y=0.
– Extremantes: mínimo local em (-1,-2), máximo local em (1,2).
– Pontos de inflexão em l(-raiz3,-raiz3r), (0,0) e l(raiz3,raiz3r).
O gráfico cresce em (-1,1), decresce fora desse intervalo, alterna concavidade conforme descrito e se aproxima de y=0 nas extremidades.

Resposta

O esboço é uma curva ímpar que passa pela origem, sobe até (1,2), desce depois, tem inflexões em pmraiz3 e volta-se para y=0 conforme xtopminfty.

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