Para cada uma das funções \mathrm{f}: \mathrm{I} \rightarrow \mathbb{R} abaixo, onde \mathrm{I} \subseteq \mathbb{R}, determine os pontos de máximo e de mínimos locais (ou relativos), os intervalos onde a função f é crescente ou decrescente:
f(x) \doteq e^{2 \cdot x}-e^{4 \cdot x}, \quad para x \in I

Passo 1

O enunciado pede, para a função f:\,I\to\mathbb{R} dada por
f(x)\doteq e^{2x}-e^{4x},
determinar os pontos de máximo e de mínimo locais (relativos) e os intervalos onde f é crescente ou decrescente. As informações que temos são: a expressão explícita de f(x) válida para todo x\in I (assumiremos I=\mathbb{R} se o enunciado não restringe), e precisamos estudar derivadas para obter monotonicidade e extremos locais.

Passo 2

Vamos calcular a derivada f'(x). Lembre que a derivada da função exponencial \displaystyle e^{ax} é \displaystyle a\,e^{ax}, porque a regra é \dfrac{d}{dx}e^{ax}=a e^{ax}, onde a é constante. Aplicando isso termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(e^{4x}\bigr)=2e^{2x}-4e^{4x}.
Para manipular melhor, fatoramos um termo comum:
f'(x)=2e^{2x}\bigl(1-2e^{2x}\bigr).

Passo 3

Identificamos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0 (ou onde f' não existe, mas aqui f' existe para todo x). Como 2e^{2x}>0 para todo x, a raiz vem de
1-2e^{2x}=0.
Então
e^{2x}=\tfrac{1}{2}.
Tomando logaritmo natural, usamos \ln(e^{2x})=2x e \ln(\tfrac{1}{2})=-\ln 2. Assim
2x=-\ln 2\quad\Rightarrow\quad x=-\frac{\ln 2}{2}.
Esse é o único ponto crítico.

Passo 4

Agora determinamos o sinal de f'(x) para saber onde f é crescente ou decrescente. Como temos a forma fatorada
f'(x)=2e^{2x}\bigl(1-2e^{2x}\bigr),
e 2e^{2x}>0 sempre, o sinal de f' é o sinal de 1-2e^{2x}. Portanto resolvemos a desigualdade
1-2e^{2x}>0 \iff e^{2x}<\tfrac{1}{2}.
Aplicando \ln (função crescente) obtemos
2x<\ln\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=-\ln 2 \iff x<-\frac{\ln 2}{2}.
Assim f'(x)>0 quando x<-\dfrac{\ln 2}{2}. Analogamente f'(x)<0 quando x>-\dfrac{\ln 2}{2}. Portanto:
  • f é crescente em \bigl(-\infty,\,-\dfrac{\ln 2}{2}\bigr).
  • f é decrescente em \bigl(-\dfrac{\ln 2}{2},\,+\infty\bigr).

Passo 5

Classificação do ponto crítico pelo teste da primeira derivada: como f' muda de positivo para negativo ao passar por x=-\dfrac{\ln 2}{2}, isso indica que em x=-\dfrac{\ln 2}{2} a função tem um máximo local (porque a função sobe antes e desce depois).

Passo 6

Calculamos o valor de f nesse ponto para dar o máximo local explicitamente. Como em x=-\dfrac{\ln 2}{2} temos e^{2x}=\tfrac{1}{2}, substituímos na expressão de f:
f\!\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)=e^{2x}-e^{4x}=\tfrac{1}{2}-\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4}.
Logo o valor do máximo local é \tfrac{1}{4}.

Passo 7

Verificação (opcional) pelo teste da segunda derivada para consolidar a classificação: derivando f'(x)=2e^{2x}-4e^{4x} obtemos
f''(x)=4e^{2x}-16e^{4x}=4e^{2x}\bigl(1-4e^{2x}\bigr).
Avalia-se em x=-\dfrac{\ln 2}{2} onde e^{2x}=\tfrac{1}{2}:
f''\!\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)=4\cdot\tfrac{1}{2}\bigl(1-4\cdot\tfrac{1}{2}\bigr)=2(1-2)= -2<0,
o que confirma concavidade para baixo e, portanto, máximo local.

Passo 8

Conclusões finais sobre mínimos: não há pontos críticos que produzam mínimo local (temos apenas o máximo local). Se o domínio for toda a reta, não existem mínimos locais; a função tende a 0 quando x\to-\infty e tende a -\infty quando x\to+\infty, então não aparece mínimo relativo isolado.

Resposta

f é crescente em \displaystyle\bigl(-\infty,\,-\tfrac{\ln 2}{2}\bigr).\n
f é decrescente em \displaystyle\bigl(-\tfrac{\ln 2}{2},+\infty\bigr).\n
Máximo local em \displaystyle x=-\tfrac{\ln 2}{2}, com valor \displaystyle f\!\bigl(-\tfrac{\ln 2}{2}\bigr)=\tfrac{1}{4}.\n
Não existem mínimos locais (para I=\mathbb{R}).

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