Para cada uma das funções
abaixo, onde
, determine os pontos de máximo e de mínimos locais (ou relativos), os intervalos onde a função f é crescente ou decrescente:
para
Passo 1
O enunciado pede, para a função
dada por
determinar os pontos de máximo e de mínimo locais (relativos) e os intervalos onde
é crescente ou decrescente. As informações que temos são: a expressão explícita de
válida para todo
(assumiremos
se o enunciado não restringe), e precisamos estudar derivadas para obter monotonicidade e extremos locais.
Passo 2
Vamos calcular a derivada
. Lembre que a derivada da função exponencial
é
, porque a regra é
, onde
é constante. Aplicando isso termo a termo:
Para manipular melhor, fatoramos um termo comum:
Passo 3
Identificamos os pontos críticos resolvendo
(ou onde
não existe, mas aqui
existe para todo
). Como
para todo
, a raiz vem de
Então
Tomando logaritmo natural, usamos
e
. Assim
Esse é o único ponto crítico.
Passo 4
Agora determinamos o sinal de
para saber onde
é crescente ou decrescente. Como temos a forma fatorada
e
sempre, o sinal de
é o sinal de
. Portanto resolvemos a desigualdade
Aplicando
(função crescente) obtemos
Assim
quando
. Analogamente
quando
. Portanto:
-
é crescente em . -
é decrescente em .
Passo 5
Classificação do ponto crítico pelo teste da primeira derivada: como
muda de positivo para negativo ao passar por
, isso indica que em
a função tem um máximo local (porque a função sobe antes e desce depois).
Passo 6
Calculamos o valor de
nesse ponto para dar o máximo local explicitamente. Como em
temos
, substituímos na expressão de
:
Logo o valor do máximo local é
.
Passo 7
Verificação (opcional) pelo teste da segunda derivada para consolidar a classificação: derivando
obtemos
Avalia-se em
onde
:
o que confirma concavidade para baixo e, portanto, máximo local.
Passo 8
Conclusões finais sobre mínimos: não há pontos críticos que produzam mínimo local (temos apenas o máximo local). Se o domínio for toda a reta, não existem mínimos locais; a função tende a
quando
e tende a
quando
, então não aparece mínimo relativo isolado.
Resposta
Máximo local em
Não existem mínimos locais (para