Para cada uma das funções quadráticas abaixo, determine concavidade, vértice e raízes (se existirem):
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função quadrática
:
- determinar a concavidade;
- encontrar o vértice;
- encontrar as raízes (se existirem).
Vamos anotar os coeficientes da parábola (forma padrão
):
,
,
.
Passo 2
Concavidade: uma parábola
é
- côncava para cima se
; - côncava para baixo se
.
Aqui
, logo a parábola é côncava para baixo. Em palavras: a parábola “abre para baixo”, como um arco que aponta para baixo.
Passo 3
Vértice — ideia e fórmula: o vértice da parábola é o ponto mais alto (se
) ou o mais baixo (se
). A abscissa do vértice é dada pela fórmula
Essa fórmula vem de completar o quadrado ou derivando
e igualando a zero; aqui usamos diretamente.
Calculemos
:
Agora a ordenada
é
. Vamos calcular
passo a passo:
Calcule as potências e produtos:
Somando:
Portanto o vértice é
(Se quiser ver a mesma resposta por completamento do quadrado: nota-se que
o que confirma o vértice
.)
Passo 4
Eixo de simetria: é a reta vertical que passa pelo vértice, dada por
(Apenas para referência: qualquer vértice
tem eixo de simetria
.)
Passo 5
Raízes — método: usar a fórmula quadrática. Primeiro computamos o discriminante
Com
,
,
:
Como
, existem duas raízes reais distintas.
A fórmula das raízes é
Substituindo:
Podemos multiplicar numerador e denominador por
para ficar mais legível:
É costume escrever com o
primeiro; então as duas raízes são
Aproximações (para intuir onde ficam no eixo
):
Passo 6
Resumo rápido e motivacional: a parábola abre para baixo, tem vértice em
e corta o eixo
em dois pontos reais e distintos cujas fórmulas exatas já foram dadas. Se quiser, dá para praticar verificando que
substituindo as expressões exatas nas contas — isso reforça a compreensão.
Resposta
Concavidade: côncava para baixo.
Vértice:
.
Raízes:
e
(aprox.
e
).