Para cada uma das funções quadráticas abaixo, determine concavidade, vértice e raízes (se existirem):
f(x)=-3 x^{2}+9 x-5

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função quadrática f(x)=-3x^{2}+9x-5:
  • determinar a concavidade;
  • encontrar o vértice;
  • encontrar as raízes (se existirem).
Vamos anotar os coeficientes da parábola (forma padrão ax^{2}+bx+c):
a=-3, b=9, c=-5.

Passo 2

Concavidade: uma parábola ax^{2}+bx+c é
  • côncava para cima se a>0;
  • côncava para baixo se a<0.
Aqui a=-3<0, logo a parábola é côncava para baixo. Em palavras: a parábola “abre para baixo”, como um arco que aponta para baixo.

Passo 3

Vértice — ideia e fórmula: o vértice da parábola é o ponto mais alto (se a<0) ou o mais baixo (se a>0). A abscissa do vértice é dada pela fórmula
x_{v} = -\frac{b}{2a}.
Essa fórmula vem de completar o quadrado ou derivando f(x) e igualando a zero; aqui usamos diretamente.
Calculemos x_{v}:
x_{v} = -\frac{9}{2\cdot(-3)} = -\frac{9}{-6} = \frac{3}{2}.
Agora a ordenada y_{v} é f(x_{v}). Vamos calcular f\!\left(\tfrac{3}{2}\right) passo a passo:
f\!\left(\tfrac{3}{2}\right) = -3\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2} + 9\left(\tfrac{3}{2}\right) -5.
Calcule as potências e produtos:
\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2} = \tfrac{9}{4},\quad -3\cdot\tfrac{9}{4} = -\tfrac{27}{4}, \quad 9\cdot\tfrac{3}{2} = \tfrac{27}{2}.
Somando:
-\tfrac{27}{4} + \tfrac{27}{2} - 5 = -\tfrac{27}{4} + \tfrac{54}{4} - \tfrac{20}{4} = \tfrac{7}{4}.
Portanto o vértice é
\left(\tfrac{3}{2},\,\tfrac{7}{4}\right).
(Se quiser ver a mesma resposta por completamento do quadrado: nota-se que
-3x^{2}+9x-5 = -3\bigl(x^{2}-3x\bigr)-5 = -3\bigl((x-\tfrac{3}{2})^{2}-\tfrac{9}{4}\bigr)-5 = -3(x-\tfrac{3}{2})^{2}+\tfrac{7}{4},
o que confirma o vértice \bigl(\tfrac{3}{2},\tfrac{7}{4}\bigr).)

Passo 4

Eixo de simetria: é a reta vertical que passa pelo vértice, dada por
x=\tfrac{3}{2}.
(Apenas para referência: qualquer vértice (x_{v},y_{v}) tem eixo de simetria x=x_{v}.)

Passo 5

Raízes — método: usar a fórmula quadrática. Primeiro computamos o discriminante
\Delta = b^{2}-4ac.
Com a=-3, b=9, c=-5:
\Delta = 9^{2}-4\cdot(-3)\cdot(-5) = 81 - 60 = 21.
Como \Delta>0, existem duas raízes reais distintas.
A fórmula das raízes é
x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
Substituindo:
x = \frac{-9\pm\sqrt{21}}{2\cdot(-3)} = \frac{-9\pm\sqrt{21}}{-6}.
Podemos multiplicar numerador e denominador por -1 para ficar mais legível:
x = \frac{9\mp\sqrt{21}}{6}.
É costume escrever com o + primeiro; então as duas raízes são
x_{1} = \frac{9-\sqrt{21}}{6},\qquad x_{2} = \frac{9+\sqrt{21}}{6}.
Aproximações (para intuir onde ficam no eixo x):
\sqrt{21}\approx 4,5826\quad\Rightarrow\quad x_{1}\approx 0,7362,\quad x_{2}\approx 2,2638.

Passo 6

Resumo rápido e motivacional: a parábola abre para baixo, tem vértice em \bigl(\tfrac{3}{2},\tfrac{7}{4}\bigr) e corta o eixo x em dois pontos reais e distintos cujas fórmulas exatas já foram dadas. Se quiser, dá para praticar verificando que f(x_{1})=f(x_{2})=0 substituindo as expressões exatas nas contas — isso reforça a compreensão.

Resposta

Concavidade: côncava para baixo.
Vértice: \left(\tfrac{3}{2},\tfrac{7}{4}\right).
Raízes: \dfrac{9-\sqrt{21}}{6} e \dfrac{9+\sqrt{21}}{6} (aprox. 0,7362 e 2,2638).

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