Para cada uma das funções quadráticas a seguir, encontre as raízes, determine o vértice e esboce o gráfico. Faça o estudo de sinais da função.
f(x)=x^2+6 x+8

Passo 1

O enunciado pede, para a função quadrática f(x)=x^2+6x+8, que a gente encontre as raízes, determine o vértice, esboce o gráfico e faça o estudo de sinais. Para isso vamos usar a fórmula de Bhaskara para as raízes, a fórmula do vértice l(-tfracb2a,,f(-tfracb2a)r) e o fato de que, para a>0, a parábola abre para cima.

Passo 2

Calculamos o discriminante via
De<a = b^2 - 4ac,
onde a=1, b=6 e c=8. Logo,
De<a = 6^2 - 4cdot1cdot8 = 36 - 32 = 4
As raízes vêm de
x = -b pm raizDe<a2a
Substituindo,
x = -6 pm raiz42cdot1 = -6 pm 22,
o que dá
x1 = -6 + 22 = -2, x2 = -6 - 22 = -4

Passo 3

A abscissa do vértice é
xv = -b2a = -62cdot1 = -3
A ordenada é
f(-3) = (-3)^2 + 6cdot(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1
Portanto, o vértice fica em (-3,-1).

Passo 4

Como a=1>0, a parábola abre para cima. Ela corta o eixo x nos pontos x=-4 e x=-2 e tem mínimo em (-3,-1). Um esboço mental:
c n y bul<=t (-3,-1) | / | / |bul<=tbul<=t -4 / -2 bul<=tbul<=t + > x

Passo 5

No estudo de sinais, como a parábola abre para cima:
  • Para x < -4, temos f(x)>0.
  • Em x=-4 e x=-2, vale f(x)=0.
  • Para -4 < x < -2, temos f(x)<0.
  • Para x > -2, temos f(x)>0.

Resposta

Raízes: ,x=-4 e ,x=-2.
Vértice: (-3,-1).
Gráfico: parábola com concavidade para cima, zeros em -4 e -2 e mínimo em (-3,-1).
Estudo de sinais:
;f(x)>0 para x< -4 e para x> -2;
;f(x)=0 em x=-4,-2;
;f(x)<0 para -4<x<-2.

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