Considere um sistema massa mola com presença de um força externa :
onde
f(t)=ll t^2, & se 0 <= t<3 2 t, & se t >= 3
Encontre a solução x(t) do problema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de um sistema massa-mola com uma força externa aplicada. A equação que descreve esse sistema é:
2 x'' + x' + 3 x = f(t)
com as condições iniciais x(0) = 0 e x'(0) = 0 .
A força externa f(t) é diferente dependendo do tempo:
f(t) = t^2, & se 0 <= t < 3 2 t, & se t >= 3
Vamos resolver essa equação diferencial usando Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais com condições iniciais e forças externas que mudam no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Lx'(t) = s X(s) - x(0)
Lx''(t) = s^2 X(s) - s x(0) - x'(0)
Considerando que x(0) = 0 e x'(0) = 0 , a transformada da equação fica:
2 ( s^2 X(s) ) + s X(s) + 3 X(s) = Lf(t)
Passo 3
Agora, vamos simplificar a equação no domínio de Laplace:
2 s^2 X(s) + s X(s) + 3 X(s) = Lf(t)
Fatorando X(s) :
X(s) (2 s^2 + s + 3) = Lf(t)
Então, isolamos X(s) :
X(s) = Lf(t)2 s^2 + s + 3
Passo 4
Agora, precisamos encontrar Lf(t) . Dado que f(t) é uma função por partes, vamos usar a função de Heaviside u(t) para representá-la:
X(s) = 2s^3 (2 s^2 + s + 3) - e^-3 s 6/s^3 + 7/s^22 s^2 + s + 3
Agora, precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace para encontrar x(t) . Isso envolve decompor as frações e possivelmente usar a expansão em frações parciais.
Após realizar os cálculos (que envolvem técnicas de álgebra e transformadas inversas), obtemos a solução no domínio do tempo.