Resolver o. PVI:
(P vee I) x^prime prime-6 x^prime+9 x & =t^2 e^3 t x(0)=2, x^prime(0) & =6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação que temos é:
x'' - 6x' + 9x = t^2 e^3t
E as condições iniciais são:
x(0) = 2, x'(0) = 6
O conteúdo envolvido aqui inclui resolver equações diferenciais lineares não homogêneas. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa, depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
x'' - 6x' + 9x = 0
Para resolver isso, encontramos a equação característica:
r^2 - 6r + 9 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
r = 6 pm raiz36 - 362 = 62 = 3
Então, temos uma raiz dupla r = 3 .

Passo 3

Com uma raiz dupla r = 3 , a solução geral da equação homogênea é:
xh(t) = (C1 + C2 t) e^3t
Onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular xp(t) para a equação completa:
x'' - 6x' + 9x = t^2 e^3t
Como o lado direito é t^2 e^3t , e isso já aparece na solução homogênea, vamos multiplicar por t para evitar soluções repetidas. Então, tentamos uma solução particular da forma:
xp(t) = t^3(At^2 + Bt + C) e^3t
Vamos derivar xp(t) e substituir na equação original para encontrar os coeficientes A , B e C .

Passo 5

Após derivar e substituir xp(t) na equação diferencial, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para resolver para A , B e C . Isso envolve um pouco de cálculo, mas seguindo esse processo, encontramos:
A = 154, B = 19, C = 0
Então, a solução particular fica:
xp(t) = t^354 e^3t + t^29 e^3t

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
x(t) = xh(t) + xp(t) = (C1 + C2 t) e^3t + t^354 e^3t + t^29 e^3t
Simplificando, temos:
x(t) = (C1 + C2 t + t^29 + t^354) e^3t

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar C1 e C2 .
Primeiro, para t = 0 :
x(0) = (C1 + 0 + 0 + 0) e^0 = C1 = 2
Segundo, derivamos x(t) para encontrar x'(t) :
x'(t) = (C2 + 2t9 + t^218 + 3t^254) e^3t + (C1 + C2 t + t^29 + t^354) cdot 3 e^3t
Para t = 0 :
x'(0) = C2 + 3C1 = 6
Substituindo C1 = 2 :
C2 + 6 = 6 Rightarrow C2 = 0

Resposta

A solução do PVI é:
x(t) = (2 + t^29 + t^354) e^3t

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