Sejam f(t)=a t+b t^2 e g(t)=t i+sin (t) j++cos (t) k, com a=i+j e b=i-j, 0 <= t <= 2 pi. Calcular:
a f(t)+b g(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções vetoriais, f(t) e g(t), que são expressas em termos de vetores a e b. O objetivo é calcular a combinação linear a f(t) + b g(t). Para isso, vamos precisar entender como manipular vetores e aplicar operações básicas de álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as informações que a gente tem:
  • a = i + j
  • b = i - j
  • f(t) = a t + b t^2
  • g(t) = t i + sin(t) j + cos(t) k
Queremos calcular: a f(t) + b g(t).

Passo 3

Vamos começar calculando o produto a f(t). Como f(t) = a t + b t^2, temos:
a f(t) = a (a t + b t^2) = a cdot a t + a cdot b t^2
Aqui, estamos usando a propriedade distributiva da multiplicação vetorial.

Passo 4

Agora, vamos calcular a cdot a e a cdot b.
Sabemos que:
a = i + j b = i - j
Então:
a cdot a = (i + j) cdot (i + j) = 1 + 2 cdot 0 + 1 = 2 a cdot b = (i + j) cdot (i - j) = 1 - 1 = 0
Utilizamos o fato de que i cdot i = 1, j cdot j = 1, e i cdot j = 0.

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão de a f(t):
a f(t) = 2t + 0 cdot t^2 = 2t
Então, a f(t) = 2t.

Passo 6

Agora, vamos calcular b g(t). Sabemos que:
g(t) = t i + sin(t) j + cos(t) k
Então:
b g(t) = (i - j) (t i + sin(t) j + cos(t) k) = i cdot t i + i cdot sin(t) j + i cdot cos(t) k - j cdot t i - j cdot sin(t) j - j cdot cos(t) k

Passo 7

Vamos calcular cada termo:
i cdot t i = t i cdot sin(t) j = 0 i cdot cos(t) k = 0 - j cdot t i = 0 - j cdot sin(t) j = -sin(t) - j cdot cos(t) k = 0
Somando todos os termos:
b g(t) = t - sin(t)

Resposta

Portanto, combinando os resultados:
a f(t) + b g(t) = 2t + (t - sin(t)) = 3t - sin(t)

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