Calcular as derivadas pela definição
f(x)=\cos x, x_{0}=\frac{\pi}{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=cos x em x0=pi4 usando a definição de derivada. O conteúdo aqui é limite de diferença quociente e trigonometria (identidade de soma de cossenos).

Passo 2

Recordamos a definição de derivada em x0:
f'(x0)=limhto0f(x0+h)-f(x0)h

Passo 3

Substituindo f(x)=cos x em x0=pi4, temos
fl(tfracpi4+hr)-fl(tfracpi4r)h =cosl(tfracpi4+hr)-cosl(tfracpi4r)h

Passo 4

Usamos a identidade
cos u - cos v = -2,sin!l(u+v2r),sin!l(u-v2r),
com u=tfracpi4+h e v=tfracpi4. Então
cosl(tfracpi4+hr)-cosl(tfracpi4r) =-2,sin!l(tfracpi4+tfrach2r),sin!l(tfrach2r)

Passo 5

O quociente torna-se
-2,sin!l(tfracpi4+tfrach2r),sin!l(tfrach2r)h =-sin!l(tfracpi4+tfrach2r),sin(tfrach2)tfrach2
Ao fazermos hto0, vale sin(tfrach2)/(tfrach2)to1 e sin(tfracpi4+tfrach2)tosin(tfracpi4). Logo
f'l(tfracpi4r) =-sin!l(tfracpi4r)

Passo 6

Sabendo que sinl(tfracpi4r)=tfracraiz22, concluímos
f'l(tfracpi4r)=-raiz22

Resposta

f'l(pi4r)=-raiz22

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