(2,0) Classificar os itens abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F) e justificar suas respostas.
(a) ( ) A função F(x)=sen x é a única primitiva da função f(x)=cos x;
(b) ( ) A função F(x)=x^3-1 é a única primitiva de f(x)=3 x^2, que satisfaz F(1)=0.

Passo 1

O enunciado pede para classificar em verdadeiro (V) ou falso (F) duas afirmações sobre primitivas (ou antiderivadas) de funções dadas. O conteúdo aqui é integração indefinida e a propriedade de que duas primitivas de uma mesma função diferem por uma constante.

Passo 2

(a) A função f(x)=cos x admite como primitiva geral
F(x)=integral cos x,dx = sin x + C,
onde C é qualquer constante. Logo, F(x)=sin x não é a “única” primitiva, pois poderíamos ter sin x +C com Cneq0. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 3

(b) A função f(x)=3x^2 tem como primitiva geral
F(x)=integral 3x^2,dx = x^3 + C
Impondo a condição F(1)=0 vem
1^3 + C = 0 Longrightarrow C=-1
Assim a única primitiva que satisfaz F(1)=0 é
F(x)=x^3 - 1
Portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) F
(b) V

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